Задание 13.3

В пространстве многочленов степени £ 2 задана система векторов { f } и преобразование А. Убедиться, что { f } – базис, оператор А – линейный. Написать матрицы оператора А в базисе { f } и в стандартном базисе { e }.

f ₁= (t ²– 1); f ₂= t; f ₃= t + 1; A (p) = t × p ¢.

ГЛОССАРИЙ

№ п/п	Новые понятия	Содержание
	Собственный вектор матрицы А	вектор такой что 1) , 2) существует такое , что , т.е.
	Собственное число или собственное значение матрицы А	число , соответствующее собственному вектору матрицы А, т.е. удовлетворяющее условию
	Собственное подпространство , отвечающее собственному значению	совокупность всех собственных векторов матрицы А, отвечающих данному собственному значению , т.е. множество решений системы
	Характеристический многочлен матрицы А	- многочлен n -й степени от , равный
	Характеристическое уравнение	уравнение =0 относительно неизвестной
	Корни характеристического уравнения	те значения , для которых =0, или
	Размерность собственного подпространства, отвечающего данному	число векторов в фундаментальной системе решений системы уравнений
	Скалярное произведение векторов и в пространстве	скалярная функция двух векторных аргументов, определенная по правилу , где - компоненты векторов ; i=1, 2,…, n
	Ортогональные векторы	векторы, скалярное произведение которых равно нулю:
	Ортонормированный базис в пространстве	такой базис пространства , что
	Процесс ортогонализации линейно независимой системы векторов	построение такой ортогональной системы векторов , линейная оболочка которых совпадает с линейной оболочкой и , k =2, 3,…, m
	Ортогональная матрица	квадратная матрица порядка n, столбцы которой образуют ортонормированный базис в
	Симметричная матрица	квадратная матрица, элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е.
	Квадратичная форма	скалярная функция векторного аргумента – многочлен второй степени от координат вектора , не содержащий первых и нулевых степеней координат, т.е. , причем,
	Матричная запись квадратичной формы	представление квадратичной формы в виде , где А симметричная матрица порядка n
	Коэффициенты квадратичной формы	числа , равные элементам матрицы А, i =1, 2,…, n; j =1, 2,…, n
№ п/п	Новые понятия	Содержание
	Канонический вид квадратичной формы	представление квадратичной формы в виде суммы квадратов
	Ранг квадратичной формы	ранг матрицы квадратичной формы А он равен числу ненулевых собственных значений матрицы А, или числу ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы
	Закон инерции	сохранение числа положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в каноническом виде, не зависимо, от способа приведения квадратичной формы к сумме квадратов
	Невырожденная квадратичная форма	квадратичная форма, матрица которой невырождена
	Положительно определенная квадратичная форма	такая квадратичная форма , что для всех имеем
	Неотрицательно определенная квадратичная форма	такая квадратичная форма, что для всех векторов
	Отрицательно определенная	такая квадратичная форма, что для всех векторов
	Угловые миноры матрицы	миноры где
	Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичный формы	необходимое и достаточное условие положительной определенности формы, состоящее в том, что все угловые миноры матрицы А должны быть строго положительны
	Линейное пространство V	множество V элементов (векторов) произвольной природы, в котором определены операции сложения векторов и умножения на скаляр, подчиняющиеся определенным аксиомам
	Пространство	совокупность функций, непрерывных на отрезке (а, b) с обычными операциями сложения функций (поточечное) и умножением на число
	Матрица перехода от базиса к базису	квадратная матрица , порядка n, столбцами которой являются координаты нового базиса по старому : ,
	Евклидово пространство Е	линейное пространство, в котором введено скалярное произведение , причем – скалярная функция двух векторных аргументов подчиняется законам: 1. ; 2. , для всякого , и равенство возможно только в случае ; 3) , для любых векторов и любых чисел
	Линейный оператор А в линейном пространстве V	правило, по которому каждому вектору ставится в соответствие некоторый определенный вектор , , причем , для всяких векторов и чисел
	Образ вектора относительно преобразования А	вектор , полученный из вектора под действием оператора А
№ п/п	Новые понятия	Содержание
	Матрица А линейного оператора (преобразования) А в базисе	квадратная матрица , элементы которой определяются из соотношения , (j=1,2,…, n)
	Подобные матрицы А и В	квадратные матрицы порядка n, для которых существует такая невырожденная матрица P, что
	Оператор А*, сопряженный к оператору А	такой линейный оператор А*, для которого выполняется соотношение для любых
	Матрица В сопряженного оператора А* в ортонормированном базисе	матрица, транспонированная к матрице А, где А – матрица оператора А в ортонормированном базисе, т.е.
	Самосопряженный оператор	оператор А в евклидовом линейном пространстве, который совпадает со своим сопряженным, А=А*
	Матрица самосопряженного оператора	симметричная матрица в любом ортонормированном базисе, т.е.
	Ортонормированный собственный базис самосопряженного оператора	ортонормированный базис из собственных векторов симметричной матрицы самосопряженного оператора; такой базис всегда существует и в нем матрица оператора имеет диагональный вид

Рабочий учебник в соответствии с балансовым методом проектирования образовательных программ содержит:

38 – приведенных понятий;

12 – дифференциальных компетенций.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ