Возрастание и убывание функции. Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении

Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа. Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.). Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной.

Рассмотрим вначале, как можно находить интервалы возрастания или убывания функции, то есть интервалы ее монотонности. В п. 8.2 были даны определения монотонно убывающей и возрастающей функции. Исходя из этого, можно сформулировать простые теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности.

Теорема 1.1. Если функция , дифференцируемая на интервале , монотонно возрастает на этом интервале, то в любой его точке ; если она монотонно убывает, то в любой точке интервала .

Доказательство. Пусть функция монотонно возрастет на , значит, исходя из определения 8.2.2, для любого достаточно малого выполняется неравенство: (рис. 1.1).

Рассмотрим предел . Если , то , если , то . В обоих случаях выражение под знаком предела положительно, значит, и предел положителен, то есть , что и требовалось доказать. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы, связанная с монотонным убыванием функции.

Рис. 1.1

Теорема 1.2. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, и, кроме того, для любого , то данная функция монотонно возрастает на ; если для любого , то данная функция монотонно убывает на .

Доказательство. Возьмем и , причем . По теореме Лагранжа (п. 14.2), . Но и , значит, , то есть . Полученный результат указывает на монотонное возрастание функции, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.