Практическая работа № 2

Тема. Практический расчет вероятнейшего значения измеренного с помощью РЛС расстояния до ориентира.

Цель работы. Научиться на практике с помощью методов теории вероятности и математической статистики рассчитывать вероятнейшее значение измеренного с помощью РЛС расстояния до ориентира и среднюю квадратическая погрешность (СКП) измерения.

Теоретические сведения. Предположим, одним наблюдателем, одним инструментом и при неизменных условиях выполнено n прямых измерений некоторой постоянной физической величины x₁, х₂, х₃, …, x_n (например, с неподвижного судна измерен ряд пеленгов на какой-либо ориентир). Так как все измерения выполнены в одинаковых условиях, можем считать их равноточными.

Ниже будем рассматривать простейший случай, когда систематические погрешности в измерениях отсутствуют, и погрешности двух любых измерений можно считать некоррелированными величинами. Присутствуют лишь случайные погрешности измерений.

В теории вероятностей доказывается, что если погрешности измерений распределены по нормальному закону, то наиболее точной из всех возможных оценок является среднее арифметическое из результатов измерений:

. (4)

Чему равна дисперсия найденной нами оценки ? Мы рассматриваем равноточные измерения, следовательно , где – средняя квадратическая погрешность единичного измерения. Поскольку случайные погрешности являются некоррелированными случайными величинами, то дисперсия будет

. (5)

Средняя квадратическая погрешность оценки (средняя квадратическая погрешность среднего арифметического) есть

. (6)

То есть можно сказать, что среднее арифметическое в раз точнее единичного измерения. Почему? Мы рассматриваем влияние случайных погрешностей. Они являются некоррелированными случайными величинами: в разных измерениях имеют разную величину и могут иметь разные знаки. При сложении они частично друг друга компенсируют, поэтому точность среднего арифметического выше точности единичного измерения. Но полной компенсации не происходит, поэтому найти совершенно безошибочную оценку невозможно.

Формула (6) дает возможность оценить точность среднего арифметического, но для этого должна быть известна средняя квадратическая погрешность единичного измерения. Для ее оценки существует два пути:

- Априорное (до опыта) оценивание точности измерений, которое основывается на результатах каких-то предыдущих измерений или на косвенном (теоретическом) анализе точности измерений. В этом случае, взяв готовую величину и подставив ее в формулу (6), мы можем оценить , но при этом не будут учтены реальные условия измерений.

- Апостериорное (после опыта) оценивание точности измерений производится по результатам тех измерений, точность которых оценивается.

Для апостериорного оценивания точности измерений применяются три способа. По эталонным измерениям. Если при измерениях известно эталонное (истинное) значение измеряемой величины Х_ист, за оценку средней квадратической погрешности единичного измерения принимают величину, которую называют формулой Гаусса

, (7)

где Δ_i = X_i – Х_ист – абсолютные случайные погрешности измерений.

Чтобы применять формулу Гаусса, необходимо располагать результатами эталонных измерений, более точных (как минимум, в три раза), нежели те, точность которых оценивается.

Такая возможность встречается сравнительно редко, поэтому чаще применяются другие способы. По отклонениям от среднего арифметического. Среднее арифметическое (или вероятнейшее) значение серии измерений; оценивается по формуле

. (8)

Средняя квадратическая погрешность (СКП) единичного измерения, вычисленная по отклонениям от среднего арифметического, рассчитывается с помощью зависимости, носящей название формула Бесселя

, (9)

где V_i = X_i – – отклонение от среднего арифметического.

Затем подсчитывается СКП среднего арифметического по формуле (6) и результаты представляются в виде .

Еще один способ апостериорного оценивания точности измерений. По размаху R результатов измерений. Если измеряется постоянная (не изменяющаяся в процессе измерений) физическая величина, то размахом результатов измерений называется разность наибольшего и наименьшего из результатов измерений. При n < 14 СКП единичного измерения может быть оценена в этом случае по формуле

. (10)

Пример решения индивидуального задания. Определить вероятнейшее значение измеренного с помощью РЛС расстояния до ориентира , СКП единичного измерения по формуле Бесселя и по размаху, а также СКП среднего арифметического . Результаты измерения расстояний с помощью РЛС D_i приведены в таблице.

Таблица 1 – Примеры измеренного с помощью РЛС расстояния до ориентира

№ п/п	Di, мили	Vi, мили	Vi2
	18,32	-0,04	0,0016
	18,37	0,01	0,0001
	18,32	-0,04	0,0016
	18,36	0,00	0,0000
	18,40	0,04	0,0016
	18,37	0,01	0,0001
	18,32	-0,04	0,0016
	18,36	0,00	0,0000
	18,37	0,01	0,0001
	18,40	0,04	0,0016
	18,36	0,00	0,0000

Определим вероятнейшее значение измеренного с помощью РЛС расстояния до ориентира , а также . Согласно формулы Бесселя рассчитаем СКП единичного измерения и СКП среднего арифметического

мили;

мили.

Также рассчитаем СКП единичного измерения по размаху

мили;

мили.

Варианты для самостоятельного решения. Продолжить заполнение таблицы по номеру варианта, а также определить вероятнейшее значение измеренного с помощью РЛС расстояния до ориентира , СКП единичного измерения по формуле Бесселя и по размаху, а также СКП среднего арифметического . Результаты измерения расстояний с помощью РЛС D_i, погрешности измерений V_i по вариантам приведены в таблице.

Таблица 2 – Варианты для самостоятельного решения

Вариант № 1	Вариант № 2
№ п/п	Di, мили	Vi, мили	Vi2	№ п/п	Di, мили	Vi, мили	Vi2
	18,32				17,32
	18,37				17,37
	18,32				16,32
	18,36				17,36
	18,40				16,40
	18,37				15,37
	18,32				16,32
	18,36				17,36
	18,37				19,37
	18,40				12,40
	18,36				17,36

Продолжение таблицы 2 – Варианты для самостоятельного решения

Вариант № 3	Вариант № 4
№ п/п	Di, мили	Vi, мили	Vi2	№ п/п	Di, мили	Vi, мили	Vi2
	18,32				17,22
	18,37				15,37
	18,32				14,32
	18,36				16,36
	18,40				17,40
	18,37				16,37
	18,32				13,32
	18,36				18,36
	18,37				16,37
	18,40				11,40
	18,36				17,36
Вариант № 5	Вариант № 6
№ п/п	Di, мили	Vi, мили	Vi2	№ п/п	Di, мили	Vi, мили	Vi2
	18,32				17,32
	18,37				17,37
	17,32				16,32
	17,36				17,36
	17,40				16,40
	18,37				15,37
	16,32				16,32
	18,36				17,36
	18,37				19,37
	18,40				12,40
	18,36				17,36

Продолжение таблицы 2 – Варианты для самостоятельного решения

Вариант № 7	Вариант № 8
№ п/п	Di, мили	Vi, мили	Vi2	№ п/п	Di, мили	Vi, мили	Vi2
	18,32				16,22
	18,37				16,37
	17,32				15,32
	17,36				16,36
	17,40				16,40
	18,37				15,37
	16,32				15,32
	18,36				16,36
	18,37				15,37
	18,40				17,40
	18,36				16,36

Контрольные вопросы:

1. Какая спецификаиспользования равноточных измерений в судовождении?

2. Когда в теории вероятностей и математической статистике наиболее точной из всех возможных оценок является среднее арифметическое из результатов измерений?

3. Что такое средняя квадратическая погрешность (СКП) оценки?

4. Почему точность среднего арифметического выше точности единичного измерения многих навигационных параметров?

5. Что такое априорное оценивание точности измерений навигационных параметров?

6. Что такое апостериорное оценивание точности измерений навигационных параметров?

7. Особенности использование формулы Гаусса в математической статистике и теоретическом судовождении.

8. Особенности использование формулы Бесселя в математической статистике и теоретическом судовождении.

9. Особенности оценивание точности измерений навигационных параметров по размаху R результатов измерений.