![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть A - множество. Если задано некоторое подмножество его декартового квадрата, другими словами, задано некоторое подмножество упорядоченных пар
, где
, то говорят, что на множестве A задано бинарное отношение R. Пишут
или
.В качестве примеров бинарных отношений на числовых множествах можно рассмотреть хорошо известные из арифметики отношения:,,=”,,,<”,,,£”,,,>”,,,³”.
Бинарное отношение называется:
- рефлексивным, если для любого
- иррефлексивным, если для любого ;
- симметричным, если из следует
;
- антисимметричным, если и
следует a=b;
- транзитивным, если из и
следует
;
Отношение,,=” рефлексивно, симметрично и транзитивное, отношения,,<” и,,>” транзитивны и иррефлексивны, отношения,,£” и,,³”. рефлексивны, антисимметричны и транзитивны. Последние свойства выбираются в качестве определяющих для отношения частичного порядка на множестве A.
Определение. Бинарное отношение R на множестве A называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно,
Если , то будем считать элемент a предшествующим элементу b и записывать отношение aRb в виде
. Если для любых двух
элементов имеет место хотя бы одно из отношений
или
, то частичный порядок называется полным или линейным порядком.
Примером частичного порядка является система множеств, упорядоченных по включению: . Числовые множества с обычным отношением,, £” дают примеры линейных порядков.
Пусть <A, £ > - частично упорядоченное множество. Элемент называется минимальным, если из
следует
. Минимальных элементов может быть больше одного. Элемент
называется наименьшим, если
для любого
. Если в A имеется наименьший элемент, то он единственен. Аналогично определяются максимальный и наибольший элемент.
Обобщением понятия равенства является отношение эквивалентности.
Определение. Бинарное отношение R на множестве A называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Отношение эквивалентности разбивает множество A на непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности. Если в качестве A рассмотреть множество людей, проживающих в домах некоторого города, то отношение проживания в одном доме будет отношением эквивалентности. Более математическим примером является отношение сравнения по модулю n в множестве целых чисел Z: , если
делится на n. При этом Z разбивается на классы
, характеризуемые остатками от деления на n. Более общим примером является эквивалентность элементов группы G по подгруппе H:
если
. Классами эквивалентности здесь являются правые смежные классы по подгруппе H.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 219 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!