Лекция №14

Тема: ОГРАНИЧЕННЫЕ КВАНТОРЫ. ВИДЫ ТЕОРЕМ

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Определение ограниченных кванторов

2. Перенос свойств неограниченных кванторов на ограниченные

3. Прямая, обратная, противоположная и контрапозитивная теоремы

Краткое содержание лекционного материала

Кванторы вида $ x Î D и " x Î D называются также ограниченными.

В математике используются, как правило, ограниченные кванторы (в частности, следующие их видоизменения: $ x < a, " x > a и т.п.).

Принимаются следующие определения предложений с ограниченными кванторами (ограниченного обобщения и ограниченного подтверждения):

$ x Î D P (x)=$ x (x Î D Ù P (x));

" x Î D P (x)=" x (x Î D Þ P (x)).

При таком определении свойства неограниченных кванторов переносятся на ограниченные кванторы: например, свойство отрицания квантора всеобщности:

Ø" x Î D P (x)º(определение ограниченного обобщения)

ºØ" x (x Î D Þ P (x))º(отрицание обобщения)

º$ x Ø(x Î D Þ P (x))º(отрицание импликации)

º$ x (x Î D ÙØ P (x))º(определение ограниченного подтверждения)

º$ x Î D Ø P (x).

Теорема, обычно, имеет следующее строение:

" x Î D (P (x)Þ Q (x)), (1)

где P (x), Q (x) – предикаты с областью определения D, или, проще, P Þ Q.

Теоремы вида Q Þ P, Ø P ÞØ Q и Ø Q ÞØ P называются соответственно обратной, противоположной и контрапозитивной к теореме P Þ Q.

Теоремы P Þ Q и Ø Q ÞØ P эквивалентны (по таблице истинности).

Прямая теорема P Þ Q и обратная теорема Q Þ P, вообще говоря, не являются эквивалентными. Если прямая и обратная теоремы P Þ Q и Q Þ P верны, то их объединяют в одну теорему P Û Q.

Если импликация P Þ Q истинна (или теорема), то, говорят, что условие Q необходимое для условия P, а условие P достаточное для условия Q. Поэтому теорема P Û Q формулируется также как теорема о том, что Q является необходимым и достаточным условием для условия P.

Что значит утверждение теоремы (1) не верно?

Ответ следует из свойств отрицания ограниченного обобщения и отрицания импликации: $ x Î D (P (x)ÙØ Q (x)). Чтобы опровергнуть теорему (1), надо найти такое значение a переменной x, что P (a)ºИ и Q (a)ºЛ. Конъюнкция P (a)ÙØ Q (a) называется контрпримером к теореме (1).

Чтобы доказать теорему вида $ x Î D P (x), надо найти такое значение a переменной x, что P (a)ºИ (построении примера к теореме существования).