Лекция № 1. Основные вопросы, рассматриваемые на лекции

Тема: ОПЕРАЦИИ НАД ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Из истории математической логики

2. Основные задачи и разделы математической логики

3. Что такое высказывание?

4. Лоические связки и истинностные функции

5. Операции над высказываниями и соответствующие им истинностные функции

Краткое содержание лекционного материала

Высказывание – это повествовательное предложение A, которое может быть либо истинным, либо ложным. Мы приписываем высказыванию A одно из двух истинностных значений: 1, если A истинно, и 0, если A ложно.

Логические связки – это слова вида «не», «и», «или», используемые для построения новых высказываний из высказываний, ранее построенных.

Истинностные функции (или функции истинности) – это функции, определенные на множестве {1,0} и со значениями на множестве {1,0}. Каждой логической связке соответствует ровно одна истинностная функция.

Отрицанием Ø A высказывания A называется высказывание, получаемое из A с помощью частицы «не» («неверно, что»). При этом Ø A истинно, если A ложно, и Ø A ложно, если A истинно:

A	Ø A

Значит, связке Ø соответствует истинностная функция h _Ø(x), такая, что h _Ø(1)=0 и h _Ø(0)=1.

Дизъюнкцией A Ú B двух высказываний A и B называется высказывание, образуемое из A и B с помощью союза «или». При этом A Ú B истинно, если хотя бы одно из A и B истинно, и A Ú B ложно, если оба A и B ложны:

A	B	A Ú B

Значит, связке Ú соответствует истинностная функция h _Ú(x, y), такая, что h _Ú(1,1)= h _Ú(1,0)= h _Ú(0,1)=1 и h _Ú(0,0)=0.

Конъюнкцией A Ù B двух высказываний A и B называется высказывание, составленное из A и B с помощью союза «и». При этом A Ù B истинно, если оба A и B истинны, и A Ù B ложно, если хотя бы одно из A и B ложно:

A	B	A Ù B

Значит, связке Ù соответствует истинностная функция h _Ù(x, y), такая, что h _Ù(1,1)=1 и h _Ù(1,0)= h _Ù(0,1)= h _Ù(0,0)=0.

Импликацией A Þ B высказываний A и B называется высказывание, построенное из A и B с помощью союза «если…то». При этом A Þ B истинно, если оба A и B истинны («из истины следует истина!») или если A ложно («изо лжи следует что угодно!»), и A Þ B ложно, если A истинно и B ложно («из истины ложь не следует!»):

A	B	A Þ B

Значит, связке Þ соответствует истинностная функция h _Þ(x, y), такая, что h _Þ(1,1)= h _Þ(0,1)= h _Þ(0,0)=1 и h _Þ(1,0)=0.

Эквивалентностью A Û B высказываний A и B называется высказывание, полученное из A и B с помощью союза «тогда и только тогда, когда». При этом A Û B истинно, если оба A и B одновременно либо истинны, либо ложны, и A Û B ложно, если одно из A и B истинно, а другое ложно:

A	B	A Û B

Значит, связке Û соответствует истинностная функция h _Û(x, y), такая, что h _Û(1,1)= h _Û(0,0)=1 и h _Û(1,0)= h _Û(0,1)=0.