![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Требуется распределить имеющиеся В единиц средств среди n предприятий, доход gi(xi) от которых в зависимости от количества вложенных средств хi определяется матрицей (n x n) приведенной в табл.1, так, чтобы суммарный доход со всех предприятий был бы максимальным.
Таблица 1
g1 | g2 | - | gi | - | gn | |
x1 | g1(x1) | g2(x1) | gi(x1) | - | gn(x1) | |
x2 | g1(x2) | g2(x2) | gi(x2) | - | gn(x2) | |
- | - | - | - | - | - | - |
xn | g1(xn) | g2(xn) | - | gi(xn) | - | gn(xn) |
Запишем математическую модель задачи.
Определить Х* = (х*1,х*2,… х*k,… х*n), удовлетворяющий условиям
n
Sxi=B
i=1
xi>=0, i=1,n
и обеспечивающий максимум целевой функции.
n
F(X)= Sgi(xi)-->max
i=1
Задача может быть решена путем перебора всех возможных вариантов распределения средств по n предприятиям. Но решим ее более эффективным способом, который заключается в следующем:
Разобьем процесс оптимизации на n шагов и будем на каждом к-ом шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только предприятий с к-го по n-ое. При этом считаем, что в остальные предприятия (с 1-го по к-1) тоже вкладываются средства, и поэтому инвестирование предприятий с к-го по n-ое остаются не все средства, а сумма Ck<=B
Эта величина будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на к-ом шаге назовем величину хk средств вкладываемых в к-ое производство. В качестве функции Беллмана Fk(Ck) на к-ом шаге можно выбрать максимально возможный доход, который можно получить с предприятий с к-го по n-ый при условии, что на их инвестирование осталось Ck средств. Очевидно, что при вложении в к-ое предприятие хk средств будет получена прибыль gk(xk), а система к к+1-му шагу перейдет в состояние Sk+1 и, следовательно, на инвестирование предприятий с к-го по n-ое останется
Ck+1=(Ck-xk)
средств.
Т.o, на первом шаге условной оптимизации при к=n функция Беллмана представляет прибыль только n-го предприятия. При этом на его инвестирование может остаться средств Сn, 0<= С<= В, чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия надо вложить в него все оставшиеся средства.
Fn(Cn)=gn(Cn) xn=Cn
На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана необходимо использовать результаты предыдущего шага. Пусть на к-ом шаге для инвестирования предприятий с к-го по n-е осталось Сксредств, 0<= Ск<= В, тогда от вложения к-е предприятие хк средств будет получена прибыль gk(xk),а на инвестирование остальных предприятий с к-го по n-е Ck+1=(Ck-xk).
Максимальный доход, который может быть получен с предприятий (с к-го по n-е)
Fк(Ск)=max{ gk(xk)+Fk+1(Ck-xk)} к=1,n
Максимум этого выражения достигается на некотором значении х*k. Действуя таким образом, можно определять функции Беллмана и оптимальные управления до шага к=1.
Значение функции Беллмана F1(C1) представляет собой максимально возможный доход со всех предприятий, а значение х*1, на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в первое предприятие. Далее на этапе безусловной оптимизации для всех последующих предприятий вычисляется величина Ck+1=(Ck-xk).
И оптимальное управление на к-ом шаге является то значение хk,которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы Sk.
Пример.
На развитие трех предприятий выделено 5 млн. руб. Известна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, заданная значением нелинейной функции gk(xk) представленной в таблице 2. Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.
Для упрощения предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах хk =(0,1,2,3,4,5) млн. руб.
Таблица 2
x | g1 | g2 | g3 |
2,2 | 2,8 | ||
3,2 | 5,4 | ||
4,1 | 4,8 | 6,4 | |
5,2 | 6,2 | 6,6 | |
5,9 | 6,4 | 6,9 |
Решение.
Условная оптимизация.
1-ый шаг,k=3. Предположим, что все средства в количестве х3 вложены в третье предприятие. В этом случае максимальный доход составит g3=6,9 тыс. руб., следовательно F3(C3)= g3(x3)
Таблица 3
С\X | F3(C3) | X*3 | ||||||
2,8 | 2,8 | |||||||
5,4 | 5,4 | |||||||
6,4 | 6,4 | |||||||
6,6 | 6,6 | |||||||
6,9 | 6,9 |
2-й шаг: Определяем оптимальную стратегию при распределении средств между вторым и третьим предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:
F2(С2)=max{ g2(x2)+F3(C2-x2)}
На основе которого составлена таблица 4.
Таблица 4
С\X | F2(C2) | X*2 | ||||||
0+0 | ||||||||
0+2,8 | 2+0 | 2,8 | ||||||
0+5,4 | 2+2,8 | 3,2+0 | 5,4 | |||||
0+6,4 | 2+5,4 | 3,2+2,8 | 4,8+0 | 7,4 | ||||
0+6,6 | 2+6,4 | 3,2+5,4 | 4,8+2,8 | 6,2+0 | 8,6 | |||
0+6,9 | 2+6,6 | 3,2+6,4 | 4,8+5,4 | 6,2+2,8 | 6,4+0 | 10,2 |
Таблица 5
С\X | F1(C1) | X*1 | ||||||
0+0 | ||||||||
0+2,8 | 2,2+0 | 2,8 | ||||||
0+5,4 | 2,2+2,8 | 3+0 | 5,4 | |||||
0+7,4 | 2,2+5,4 | 3+2,8 | 4,1+0 | 7,6 | ||||
0+8,6 | 2,2+7,4 | 3+5,4 | 4,1+2,8 | 5,2+0 | 9,6 | |||
0+10,2 | 2,2+8,6 | 3+7,4 | 4,1+5,4 | 5,2+2,8 | 5,9 | 10,8 |
Безусловная оптимизация.
Определяем компоненты оптимальной стратегии.
1-й шаг: По данным табл.5. максимальный доход при распределении5 млн. руб. между тремя предприятиями составляет С1=5, F1(C1)=10,8, при этом первому предприятию нужно выделить X*1=1 млн. руб.
2-й шаг.Определяем величину оставшихся средств, приходящих на долю второго и третьего предприятий.
С2=С1-Х*1=5-1=4 млн. руб.
По данным табл. 4 находим, что оптимальный вариант распределения средств размером 4 млн. руб. между вторым и третьим предприятиями составляет F2(C2)=8,6 при выделении второму предприятию X*2=2 млн. руб.
3-й шаг. Определяем величину оставшихся средств, приходящихся на долю третьего предприятия.
С3=С2-Х*2=4-2=2 млн. руб.
По данным табл. 3 находим: F3(C3)=5,4 и X*3=2 млн. руб.
Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий:
Х*=(1,2,2),
который обеспечит максимальный доход, равный:
F(5)=g1+ g2+g3=2,2+3,2+5,4=10,8 млн. руб.
2.2.3. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования
Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) или суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).
Предположим, что планируемый период равен n лет. Доход стареющего оборудования является функцией времени r(t). При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(t), которая также зависит от возраста t, и купить новое оборудование за цену Р. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации после последней замены, определенный в годах.
Требуется найти такой план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все n лет был бы максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял t0 лет.
Исходными данными в задаче являются доход r(t) от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S(t), цена нового оборудования Р и начальный возраст t0.
При составлении динамической модели период эксплуатации разбивается на n шагов. Процесс оптимизации ведется с последнего шага. На k шаге неизвестно, в какие годы с первого по k-1 должна осуществляться замена и неизвестен возраст t оборудования к началу k-го года.
Переменная t является переменной состояния системы на k -ом шаге. Переменной управления xk(t) на k -ом шаге является логическая переменная, принимающая одно из двух значений: С-сохранить или З-заменить оборудование в начале k -ого года.
Функцию Беллмана Fk(t) определяют как максимально возможный доход за годы с k -го по n -й, если к началу k -го возраст оборудования составлял t лет.
Если в начале k-го года оборудование сохраняется, то к началу k+1 -го года его возраст равеn t +1, в случае замены новое оборудование достигнет к началу k +1-го года возраста t1=1год.
Таким образом, уравнение Беллмана на каждом шаге имеет вид:
r(t)+Fk+1(t+1), (C)
Fk(t)= max {
S(t)-P+r(0)+F(1), (3)
Функция Fk(t) вычисляется на каждом шаге для всех
1<=t<=t0+k-1
Для первого шага при k = n функция представляет собой доход за последний год:
r(t), (C)
Fn(t)= max {
S(t)-P+r(0), (3)
Так проводится условная оптимизация.
Безусловная оптимизация проводится при известных Fn(t), Fn-1(t), …F1(t), F1(t0) обратным ходом, то есть максимум дохода на первом году эксплуатации определяет управление и возраст оборудования к началу второго года, для данного возраста выбирается управление, при котором достигается максимум дохода на втором году и так далее. В результате определяются годы, в начале которых следует производить замену оборудования.
Пример.
Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования за 6 лет, если годовой доход и остаточная стоимость в зависимости от возраста даны в таблице 6. Стоимость нового оборудования Р=13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.
Таблица 6
T | |||||||
R(t) | |||||||
S(t) |
Решение
Условная оптимизация.
1-шаг. к=6.
r(t), (C)
Fn(t)= max
S(t)-P+r(0), (3)
7, (C)
F6(1)= max =7
10-13+8, (3)
7, (C)
F6(2)= max =7
8-13+8, (3)
6, (C)
F6(3)= max =6
8-13+8, (3)
6, (C)
F6(4)= max =6
7-13+8, (3)
5, (C)
F6(5)= max =5
6-13+8, (3)
5, (C)
F6(6)= max =5
4-13+8, (3)
2-шаг. к=5
r(t)+Fk+1(t+1), (C)
Fk(t)= max
S(t)-P+r(0)+F(1), (3)
7+7, (C)
F5(1)= max =14
10-13+8+7, (3)
7+6, (C)
F5(2)= max =13
8-13+8+7, (3)
6+6, (C)
F5(3)= max =12
8-13+8+7, (3)
6+5, (C)
F5(4)= max =11
7-13+8+7, (3)
5+5, (C)
F5(5)= max =10
6-13+8+7, (3)
3-шаг.к=4.
r(t)+Fk+1(t+1), (C)
Fk(t)= max
S(t)-P+r(0)+F(1), (3)
7+13, (C)
F4(1)= max =20
10-13+8+14, (3)
7+13, (C)
F4(2)= max =19
8-13+8+14, (3)
6+11 (C)
F4(3)= max =17
8-13+8+14, (3)
6+10, (C)
F4(4)= max =16
8-13+8+14, (3)
4-шаг.к=3.
r(t)+Fk+1(t+1), (C)
Fk(t)= max
S(t)-P+r(0)+F(1), (3)
7+19, (C)
F3(1)= max =26
10-13+8+20, (3)
7+17, (C)
F3(2)= max =24
8-13+8+20, (3)
6+16, (C)
F3(3)= max =23
8-13+8+20, (3)
5-шаг. к=2
r(t)+Fk+1(t+1), (C)
Fk(t)= max
S(t)-P+r(0)+F(1), (3)
7+24, (C)
F2(1)= max =31
10-13+8+26, (3)
7+23, (C)
F2(2)= max =30
8-13+8+26, (3)
6-шаг.к=1
r(t)+Fk+1(t+1), (C)
Fk(t)= max
S(t)-P+r(0)+F(1), (3)
7+30, (C)
F1(1)= max =37
10-13+8+31, (3)
Результаты вычислений приведены в табл. 7, в которой k- год эксплуатации, t -возраст оборудования.
Таблица 7
Т К | ||||||
На третьем году эксплуатации произведена замена оборудования.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 4490 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!