Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Оптимальное распределение инвестиций



Требуется распределить имеющиеся В единиц средств среди n предприятий, доход gi(xi) от которых в зависимости от количества вложенных средств хi определяется матрицей (n x n) приведенной в табл.1, так, чтобы суммарный доход со всех предприятий был бы максимальным.

Таблица 1

  g1 g2 - gi - gn
x1 g1(x1) g2(x1)   gi(x1) - gn(x1)
x2 g1(x2) g2(x2)   gi(x2) - gn(x2)
- - - - - - -
xn g1(xn) g2(xn) - gi(xn) - gn(xn)

Запишем математическую модель задачи.

Определить Х* = (х*1*2,… х*k,… х*n), удовлетворяющий условиям

n

Sxi=B

i=1

xi>=0, i=1,n

и обеспечивающий максимум целевой функции.

n

F(X)= Sgi(xi)-->max

i=1

Задача может быть решена путем перебора всех возможных вариантов распределения средств по n предприятиям. Но решим ее более эффективным способом, который заключается в следующем:

Разобьем процесс оптимизации на n шагов и будем на каждом к-ом шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только предприятий с к-го по n-ое. При этом считаем, что в остальные предприятия (с 1-го по к-1) тоже вкладываются средства, и поэтому инвестирование предприятий с к-го по n-ое остаются не все средства, а сумма Ck<=B

Эта величина будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на к-ом шаге назовем величину хk средств вкладываемых в к-ое производство. В качестве функции Беллмана Fk(Ck) на к-ом шаге можно выбрать максимально возможный доход, который можно получить с предприятий с к-го по n-ый при условии, что на их инвестирование осталось Ck средств. Очевидно, что при вложении в к-ое предприятие хk средств будет получена прибыль gk(xk), а система к к+1-му шагу перейдет в состояние Sk+1 и, следовательно, на инвестирование предприятий с к-го по n-ое останется

Ck+1=(Ck-xk)

средств.

Т.o, на первом шаге условной оптимизации при к=n функция Беллмана представляет прибыль только n-го предприятия. При этом на его инвестирование может остаться средств Сn, 0<= С<= В, чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия надо вложить в него все оставшиеся средства.

Fn(Cn)=gn(Cn) xn=Cn

На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана необходимо использовать результаты предыдущего шага. Пусть на к-ом шаге для инвестирования предприятий с к-го по n-е осталось Сксредств, 0<= Ск<= В, тогда от вложения к-е предприятие хк средств будет получена прибыль gk(xk),а на инвестирование остальных предприятий с к-го по n-е Ck+1=(Ck-xk).

Максимальный доход, который может быть получен с предприятий (с к-го по n-е)

Fкк)=max{ gk(xk)+Fk+1(Ck-xk)} к=1,n

Максимум этого выражения достигается на некотором значении х*k. Действуя таким образом, можно определять функции Беллмана и оптимальные управления до шага к=1.

Значение функции Беллмана F1(C1) представляет собой максимально возможный доход со всех предприятий, а значение х*1, на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в первое предприятие. Далее на этапе безусловной оптимизации для всех последующих предприятий вычисляется величина Ck+1=(Ck-xk).

И оптимальное управление на к-ом шаге является то значение хk,которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы Sk.

Пример.

На развитие трех предприятий выделено 5 млн. руб. Известна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, заданная значением нелинейной функции gk(xk) представленной в таблице 2. Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.

Для упрощения предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах хk =(0,1,2,3,4,5) млн. руб.

Таблица 2

x g1 g2 g3
       
  2,2   2,8
    3,2 5,4
  4,1 4,8 6,4
  5,2 6,2 6,6
  5,9 6,4 6,9

Решение.

Условная оптимизация.

1-ый шаг,k=3. Предположим, что все средства в количестве х3 вложены в третье предприятие. В этом случае максимальный доход составит g3=6,9 тыс. руб., следовательно F3(C3)= g3(x3)

Таблица 3

С\X             F3(C3) X*3
                 
    2,8         2,8  
      5,4       5,4  
        6,4     6,4  
          6,6   6,6  
            6,9 6,9  

2-й шаг: Определяем оптимальную стратегию при распределении средств между вторым и третьим предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

F22)=max{ g2(x2)+F3(C2-x2)}

На основе которого составлена таблица 4.

Таблица 4

С\X             F2(C2) X*2
  0+0              
  0+2,8 2+0         2,8  
  0+5,4 2+2,8 3,2+0       5,4  
  0+6,4 2+5,4 3,2+2,8 4,8+0     7,4  
  0+6,6 2+6,4 3,2+5,4 4,8+2,8 6,2+0   8,6  
  0+6,9 2+6,6 3,2+6,4 4,8+5,4 6,2+2,8 6,4+0 10,2  

Таблица 5

С\X             F1(C1) X*1
  0+0              
  0+2,8 2,2+0         2,8  
  0+5,4 2,2+2,8 3+0       5,4  
  0+7,4 2,2+5,4 3+2,8 4,1+0     7,6  
  0+8,6 2,2+7,4 3+5,4 4,1+2,8 5,2+0   9,6  
  0+10,2 2,2+8,6 3+7,4 4,1+5,4 5,2+2,8 5,9 10,8  

Безусловная оптимизация.

Определяем компоненты оптимальной стратегии.

1-й шаг: По данным табл.5. максимальный доход при распределении5 млн. руб. между тремя предприятиями составляет С1=5, F1(C1)=10,8, при этом первому предприятию нужно выделить X*1=1 млн. руб.

2-й шаг.Определяем величину оставшихся средств, приходящих на долю второго и третьего предприятий.

С21*1=5-1=4 млн. руб.

По данным табл. 4 находим, что оптимальный вариант распределения средств размером 4 млн. руб. между вторым и третьим предприятиями составляет F2(C2)=8,6 при выделении второму предприятию X*2=2 млн. руб.

3-й шаг. Определяем величину оставшихся средств, приходящихся на долю третьего предприятия.

С32*2=4-2=2 млн. руб.

По данным табл. 3 находим: F3(C3)=5,4 и X*3=2 млн. руб.

Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий:

Х*=(1,2,2),

который обеспечит максимальный доход, равный:

F(5)=g1+ g2+g3=2,2+3,2+5,4=10,8 млн. руб.

2.2.3. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования

Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) или суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Предположим, что планируемый период равен n лет. Доход стареющего оборудования является функцией времени r(t). При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(t), которая также зависит от возраста t, и купить новое оборудование за цену Р. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации после последней замены, определенный в годах.

Требуется найти такой план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все n лет был бы максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял t0 лет.

Исходными данными в задаче являются доход r(t) от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S(t), цена нового оборудования Р и начальный возраст t0.

При составлении динамической модели период эксплуатации разбивается на n шагов. Процесс оптимизации ведется с последнего шага. На k шаге неизвестно, в какие годы с первого по k-1 должна осуществляться замена и неизвестен возраст t оборудования к началу k-го года.

Переменная t является переменной состояния системы на k -ом шаге. Переменной управления xk(t) на k -ом шаге является логическая переменная, принимающая одно из двух значений: С-сохранить или З-заменить оборудование в начале k -ого года.

Функцию Беллмана Fk(t) определяют как максимально возможный доход за годы с k -го по n -й, если к началу k -го возраст оборудования составлял t лет.

Если в начале k-го года оборудование сохраняется, то к началу k+1 -го года его возраст равеn t +1, в случае замены новое оборудование достигнет к началу k +1-го года возраста t1=1год.

Таким образом, уравнение Беллмана на каждом шаге имеет вид:

r(t)+Fk+1(t+1), (C)

Fk(t)= max {

S(t)-P+r(0)+F(1), (3)

Функция Fk(t) вычисляется на каждом шаге для всех

1<=t<=t0+k-1

Для первого шага при k = n функция представляет собой доход за последний год:

r(t), (C)

Fn(t)= max {

S(t)-P+r(0), (3)

Так проводится условная оптимизация.

Безусловная оптимизация проводится при известных Fn(t), Fn-1(t), …F1(t), F1(t0) обратным ходом, то есть максимум дохода на первом году эксплуатации определяет управление и возраст оборудования к началу второго года, для данного возраста выбирается управление, при котором достигается максимум дохода на втором году и так далее. В результате определяются годы, в начале которых следует производить замену оборудования.

Пример.

Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования за 6 лет, если годовой доход и остаточная стоимость в зависимости от возраста даны в таблице 6. Стоимость нового оборудования Р=13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.

Таблица 6

T              
R(t)              
S(t)              

Решение

Условная оптимизация.

1-шаг. к=6.

r(t), (C)

Fn(t)= max

S(t)-P+r(0), (3)

7, (C)

F6(1)= max =7

10-13+8, (3)

7, (C)

F6(2)= max =7

8-13+8, (3)


6, (C)

F6(3)= max =6

8-13+8, (3)

6, (C)

F6(4)= max =6

7-13+8, (3)

5, (C)

F6(5)= max =5

6-13+8, (3)

5, (C)

F6(6)= max =5

4-13+8, (3)

2-шаг. к=5

r(t)+Fk+1(t+1), (C)

Fk(t)= max

S(t)-P+r(0)+F(1), (3)

7+7, (C)

F5(1)= max =14

10-13+8+7, (3)

7+6, (C)

F5(2)= max =13

8-13+8+7, (3)

6+6, (C)

F5(3)= max =12

8-13+8+7, (3)

6+5, (C)

F5(4)= max =11

7-13+8+7, (3)


5+5, (C)

F5(5)= max =10

6-13+8+7, (3)

3-шаг.к=4.

r(t)+Fk+1(t+1), (C)

Fk(t)= max

S(t)-P+r(0)+F(1), (3)

7+13, (C)

F4(1)= max =20

10-13+8+14, (3)

7+13, (C)

F4(2)= max =19

8-13+8+14, (3)


6+11 (C)

F4(3)= max =17

8-13+8+14, (3)


6+10, (C)

F4(4)= max =16

8-13+8+14, (3)

4-шаг.к=3.

r(t)+Fk+1(t+1), (C)

Fk(t)= max

S(t)-P+r(0)+F(1), (3)


7+19, (C)

F3(1)= max =26

10-13+8+20, (3)

7+17, (C)

F3(2)= max =24

8-13+8+20, (3)

6+16, (C)

F3(3)= max =23

8-13+8+20, (3)

5-шаг. к=2

r(t)+Fk+1(t+1), (C)

Fk(t)= max

S(t)-P+r(0)+F(1), (3)

7+24, (C)

F2(1)= max =31

10-13+8+26, (3)

7+23, (C)

F2(2)= max =30

8-13+8+26, (3)

6-шаг.к=1

r(t)+Fk+1(t+1), (C)

Fk(t)= max

S(t)-P+r(0)+F(1), (3)

7+30, (C)

F1(1)= max =37

10-13+8+31, (3)

Результаты вычислений приведены в табл. 7, в которой k- год эксплуатации, t -возраст оборудования.

Таблица 7

Т К            
             
             
             
             
             
             

На третьем году эксплуатации произведена замена оборудования.





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 4490 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.583 с)...