Случайные величины. Функция и плотность распределения

Функция и плотность распределения

Дискретные случайные величины.

Случайной называетсявеличина, которая случайным образом принимает в результате испытания одно, наперед не известное значение.

Дискретной называется случайная величина, которая принимает отдельные значения, отличающиеся друг от друга на конечные числа. Случайные величины принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: X, Y, Z,…, а возможные значения дискретной случайной величины X принято обозначать x ₁, x ₂, …, x_n

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины x_i и их вероятностями. Если вероятность события X=x_i, состоящего в том, что случайная величина X приняла значение, равное x_i, обозначить через = P (X=x_i), то закон распределения дискретной случайной величины принято записывать в виде таблицы:

			…
			…

Иногда рассматривают несколько случайных величин. Тогда между ними можно указать меру зависимости друг от друга. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Непрерывные случайные величины. Функция распределения.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать возможные значения из некоторого промежутка числовой оси. Примерами непрерывных случайных величин могут служить вес животных данного вида, количество осадков в данной местности за определенный период времени.

Непрерывная случайная величина характеризуется законом распределения, который называется функцией распределения.

Интегральной функцией распределения (или просто функцией распределения) случайной величины X называется вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое меньше ее некоторого возможного значения x (т.е. вероятность события X<x):

F (x) =P (X<x). (3.1)

Основные свойства функции распределения:

1) Значения функции распределения заключены между нулем и единицей: .

2) F (x) - неубывающая функция, т.е. при будет.

3) Если все возможные значения случайной величины принадлежат некоторому интервалу, т.е. X Î(a; b), то F (x) = 0 при x <a и F (x) = 1 при x >b.

С помощью функции распределения можно вычислить, например, вероятность того, что в результате измерения случайная величина примет значение внутри заданного интервала (a; b) по формуле:

. (3.2)

Если Х – дискретная случайная величина, то вычисление вероятности попадания ее значения в заданный интервал (a;b) удобнее производить не по формуле (3.2), а с помощью имеющейся в Excel статистической функции ВЕРОЯТНОСТЬ(Х; Р; a; b), где Х – диапазон ячеек, содержащих возможные значения дискретной случайной величины: х ₁, х ₂,… х_n; Р – диапазон ячеек, содержащих их вероятности р ₁, р ₂,… р_n; a – нижняя граница заданного интервала; b – его верхняя граница.

Плотность распределения.

Непрерывную случайную величину можно описать с помощью понятия плотности распределения вероятностей. Поскольку значения непрерывной случайной величины образуют бесконечное множество, то ее принято характеризовать не вероятностями отдельных значений, а вероятностью того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале между двумя заданными числами x ₀ и x, т.е. вероятностью выполнения неравенства x ₀£ X<x. Если вероятность выполнения этого неравенства можно приближенно представить в виде произведения некоторой функции f (x) на длину этого интервала x - x ₀, т.е.

,

то функцию f (x) называют плотностью распределения вероятностей или просто плотностью распределения.

Можно показать, что плотность распределения равна производной от функции распределения:

. (3.3)

Из (3.3) следует, что зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле:

. (3.4)

Основные свойства плотности распределения вероятностей:

1) Плотность распределения – неотрицательная функция: f (x)³0.

2) Плотность распределения удовлетворяет условию нормировки:

.

§3.2. Нормальное распределение

Плотность нормального распределения.

Одним из наиболее распространенных законов распределения непрерывной случайной величины является так называемый нормальный закон распределения. Этому закону подчиняются, например, распределение массы выловленной рыбы данного вида, распределение роста мужчин (женщин), дальность полета снаряда при стрельбе из орудия и многие другие.

Нормальным законом распределения вероятностей (или просто нормальным распределением) называется закон распределения непрерывной случайной величины, заданный плотностью распределения вида:

, (3.5)

где числа a и s называются параметрами нормального распределения.

Они имеют вполне определенный смысл: а есть среднее значение случайной величины, имеющей нормальное распределение, s – стандартное отклонение этой случайной величины.

Непрерывная случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, называется нормальной.

Функция распределения нормальной случайной величины может быть найдена по формуле (3.4) с использованием (3.5). Возникающий при этом интеграл не берется в элементарных функциях, и поэтому его значение обычно вычисляется на компьютере.

Функция (3.5) имеет максимум при х = а. Это означает, что возможные значения нормальной случайной величины группируются около ее среднего значения.

График нормального распределения (3.5) называется нормальной кривой или кривой Гаусса (рис. 3.1). Параметры нормального распределения определяют форму нормальной кривой: при постоянном а и увеличении s кривая растягивается вдоль оси Ох и при уменьшении s кривая вытягивается вдоль оси Оу.

Рис. 3.1. График плотности нормального распределения (3.1) при a= 2 и s₁ = 0,1, s₂ = 0,2, s₃ = 0,3.

Стандартное нормальное распределение.

Нормальная случайная величина называется нормированной (или стандартной), если значения параметров ее распределения a= 0 и s = 1

Плотность распределения нормированной случайной величины, подчиняющейся нормальному закону, называется стандартной плотностью нормального распределения и принимает вид:

. (3.6)

Функция распределения нормированной нормальной случайной величины называется стандартной функцией нормального распределения и вычисляется по формуле

. (3.7)

Эта функция не выражается через известные элементарные функции и ее значения могут быть найдены в специальных таблицах или вычислены на компьютере (например, в Excel).

Отметим некоторые свойства стандартной функцией нормального распределения (3.7):

1) F (0)=1/2;

2) F (x)®0 при х ®-¥;

3) F (x)®1 при х ®+¥.

На практике обычно при х >5 силу свойства (3) полагают F (х)»1.

Вычисление функции и плотности нормального распределения в Excel.

В Excel среди статистических функций имеется функция НОРМРАСП, которая позволяет вычислять как плотность нормального распределения f (x) по формуле (3.5), так и интегральную функцию распределения F (x) по формуле (3.4), где f (x) задано (3.5). Данная функция имеет следующие параметры: НОРМРАСП(х; а; s; тип), где х – значение переменной, для которой следует вычислить функцию; а – среднее значение нормального распределения; s – стандартное отклонение этого распределения; тип – это логическое значение, определяющее тип функции распределения: тип принимает значения истина или ложь. Если указать в качестве этого параметра истина, то будет вычислена интегральная функция F (x) нормального распределения, а если – ложь, то плотность распределения f (x).

Во многих приложениях статистики необходимо для заданной вероятности g найти аргумент функции распределения х, т.е. вычислить функцию F ^[-1](g), обратную к F (x). Для этого в Excel имеется функция НОРМОБР(g; а; s), где g – вероятность нормального распределения, для которой следует найти значение переменной х; а – среднее значение этого распределения; s – его стандартное отклонение.

Для вычисления стандартной функции нормального распределения (3.7) в Excel имеется функция НОРМСТРАСП(х), где х – значение случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение. Естественно, что результат вычисления этой функции совпадает с результатом вычисления функции НОРМРАСП(х; 0; 1; истина).

Найти аргумент х стандартной функции нормального распределения по известной вероятности g можно с помощью функции НОРМСТОБР(g).

§3.3. Биномиальное распределение

Пусть случайная величина X есть число появлений события A в n независимых испытаниях, причем вероятность наступления A во всех событиях одинакова и равна p. Тогда вероятность появления m событий A (т.е. X = m) в n независимых испытаниях определяется по формуле Бернулли:

, (3.8)

где принято обозначение q =1- p, а величина есть число сочетаний из n элементов по m элементам:

.

Закон распределения дискретной случайной величины X с возможными значениями m =0,1,…, n и вероятностями, описываемыми формулой (3.8), называется биномиальным распределением или распределением Бернулли.

Интегральная функция биномиального распределения вычисляется по формуле:

. (3.9)

В Excel имеется функция БИНОМРАСП, позволяющая вычислять интегральную функцию распределения (3.9) и плотность распределения (3.8). Эта функция имеет следующие параметры: БИНОМРАСП(m; n; p; тип), где m – число появлений события А в n независимых испытаний Бернулли, р – вероятность появления события А в одном испытании; тип – параметр, определяющий тип вычисляемой функции. Это параметр такой же, как и для функции НОРМРАСП: если указать истина, то будет вычислена интегральная функция биномиального распределения по формуле (3.9), а если указать ложь, то будет вычислена вероятность по формуле Бернулли (3.8).

В формулу Бернулли (3.8) входит число сочетаний . Его можно вычислить с помощью функции ЧИСЛКОМБ(n; m).

§3.4. Распределение Пуассона

Пусть число независимых испытаний n очень велико, а вероятность p наступления события А мала. Тогда вероятность того, что случайная величина X примет значение m (т. е. событие А наступит m раз), вычисляется по формуле Пуассона:

. (3.10)

Закон распределения дискретной случайной величины X, принимающей значения m= 0,1,…, n с вероятностями, определяемыми по формуле (3.10), называется распределением Пуассона. Число l =np называется параметром распределения Пуассона. Этот параметр имеет вполне определенный вероятностный смысл: среднее значение дискретной случайной величины, имеющей распределение Пуассона, равно l.

Интегральная функция распределения Пуассона определяется формулой:

. (3.11)

Функция ПУАССОН позволяет вычислить в Excel вероятность по формуле Пуассона (3.10) и интегральную функцию по формуле (3.11). Аргументы у этой функции следующие: ПУАССОН(m; l; тип), где m – переменная, для которой вычисляется значение функции, l –параметр распределения Пуассона (среднее значение), а параметр – тип такой же, как и для предыдущих функций. Если на его месте указать Истина, то будет вычислена интегральная функция по формуле (3.11), а если – ложь, то вероятность по формуле Пуассона (3.10).

§3.5. Распределение Пирсона

Если Х ₁, Х ₁,…, Х_n – независимые нормированные случайные величины, распределенные по нормальному закону (3.6), то случайная величина

(3.12)

имеет распределение, называемое распределением Пирсона или распределением c² с k = n степенями свободы. Число степеней свободы равно объему выборки минус число условий, при которых она была сформирована.

Так как в прикладных исследованиях всегда вычисляется среднее значение, то число степеней свободы равно объему выборки, уменьшенному на единицу, т.е. k = n -1.

Плотность распределения Пирсона при х <0 равна нулю, а при х >0:

, (3.13)

где – нормировочный множитель, Г(z) – гамма-функция Эйлера (о ней будет написано подробнее в §3.9.). Интегральная функция распределения Пирсона вычисляется по стандартной формуле (3.4) с плотностью (3.13). Ее значения могут быть найдены в специальных таблицах или вычислены на компьютере (например, в Excel).

В Excel имеется функция ХИ2РАСП, которая вычислят вероятность того, что случайная величина (3.12) примет значение, больше переменной х, т.е. . Аргументы у этой функции следующие: ХИ2РАСП(х; k), где х – переменная, k – число степеней свободы распределения Пирсона.

Поскольку интегральная функция распределения определяется по формуле (3.1), как , а события и – противоположные, то

.

Таким образом, интегральную функцию распределения Пирсона можно вычислить в Excel по формуле: =1–ХИ2РАСП(х; k).

В Excel имеется функция ХИ2ОБР(a; k), вычисляющая критическую точку двухсторонней критической области распределения Пирсона для заданного уровня значимости a и числа степеней свободы k. Уровень значимости – это вероятность выполнения неравенства: , т.е. , где – случайная величина (3.12), – критическая точка распределения Пирсона, которая как раз и вычисляется функцией ХИ2ОБР(a; k). Критические точки необходимы для проверки статистических гипотез, о которых более подробно будет изложено в гл. 5.

§3.6. Распределение Стьюдента

Если Х – нормированная случайная величина, распределенная по нормальному закону, - случайная величина (3.12), имеющая распределение Пирсона с k степенями свободы, то случайная величина

(3.14)

имеет распределение, называемое распределением Стьюдента (псевдоним Вильяма Госсета) или t - распределением с k степенями свободы. Обычно число степеней свободы k = n -1, где n – объем выборки.

Плотность распределения Стьюдента:

, (3.15)

где – нормировочный множитель, Г(z) – гамма-функция Эйлера. Интегральная функция распределения Стьюдента вычисляется по стандартной формуле (3.4) с плотностью (3.15). Ее значения могут быть найдены в специальных таблицах или вычислены на компьютере (например, в Excel).

Основное свойство распределения Стьюдента: при большом числе степеней свободы k ®¥ справедливы асимптотические формулы:

и , поэтому

.

Это означает, что при очень большом объеме выборки k» n, и плотность распределения Стьюдента (3.15) стремится к плотности стандартного нормального распределения (3.6). На практике при n >30 распределение Стьюдента заменяется нормальным.

Закон Стьюдента (3.15) характеризует распределение выборочных средних в зависимости от объема выборки n в генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение. С увеличением числа наблюдений n распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному (3.6), уже при n >30 практически не отличается от него и перестает зависеть от n. Однако при n <30 распределение Стьюдента сильно зависит от объема выборки и существенно отличается от нормального. Поэтому замена распределения Стьюдента нормальным n <30 приводит к грубым ошибкам оценки результатов наблюдений, например, к неоправданному повышению точности оценки.

В Excel имеется функция СТЬЮДРАСП, которая вычисляет вероятность того, что случайная величина (3.14) примет значение, большее переменной х, т.е. . Аргументы у этой функции следующие: СТЬЮДРАСП(х; k; вид), где х – переменная, k – число степеней свободы распределения Стьюдента, вид – параметр, определяющий, вычислять одностороннее или двухстороннее распределение: если он равен 1, то вычисляется одностороннее, а если 2 – то двухстороннее.

Рассуждая аналогично § 3.5, можно заключить, что интегральная функция распределения Стьюдента вычисляется в Excel по формуле: =1–СТЬЮДРАСП(х; k;1) (обязательно оно должно быть односторонним, поэтому в качестве параметра вид указана 1).

Критические точки двухсторонней критической области распределения Стьюдента (см. гл. 5) для заданного уровня значимости a и числа степеней свободы k можно вычислить с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(a; k). Нахождение критических точек необходимо для проверки статистических гипотез при использовании критерия Стьюдента, которые подробно будут рассмотрены в гл. 5.

Критические точки односторонней критической области распределения Стьюдента могут быть получены заменой аргумента a на 2a в функции СТЬЮДРАСПОБР. Например, если двухсторонняя критическая точка для a=0,05 и k =10 вычисляется СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 10) и равна 2,28139, то односторонняя критическая точка для того же уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы вычисляется формулой СТЬЮДРАСПОБР(2*0,05; 10) и равна 1,812462.

§3.7. Распределение Фишера

Если и - две независимые случайные величины, имеющие распределение Пирсона соответственно с m и k степенями свободы, то случайная величина

(3.16)

имеет распределение, называемое распределением Фишера или F - распределением с m и k степенями свободы. Распределение Фишера характеризуется двумя параметрами – степенями свободы m и k.

Плотность распределения Фишера при х <0 равна нулю, а при х >0:

, (3.17)

где – нормировочный множитель, Г(z) – гамма-функция Эйлера. Интегральная функция распределения Фишера вычисляется по стандартной формуле (3.4) с плотностью (3.17). Ее значения могут быть найдены в специальных таблицах или вычислены на компьютере (например, в Excel).

Установлено (Д. Снедекор), что величина, равная отношению исправленных дисперсий двух выборок из одной нормальной генеральной совокупности подчиняется закону распределения Фишера (3.17). Всегда берется отношение большей дисперсии к меньшей ( > ), чтобы F >1. Степени свободы распределения Фишера равны m = n_х -1 и k = n_у -1, где n_х и n_у – объемы выборок, причем, дисперсия первой выборки должна быть больше. Величина F зависит только от исправленных дисперсий и не зависит от генеральных параметров, а ее распределение – только от чисел степеней свободы, причем при большом числе наблюдений его плотность стремится к плотности стандартного нормального распределения (3.6).

В Excel имеется функция FPACП, вычисляющая вероятность , где – случайная величина (3.16), х – переменная. Аргументы у этой функции следующие: FPACП(x; m; k), где х – переменная, m и k – степени свободы распределения Фишера. Интегральная функция распределения Фишера, определяемая по формуле (3.4) с плотностью (3.17) может быть вычислена в Excel по формуле: =1–FPACП(x; m; k).

Критическую точку распределения Фишера для заданного уровня значимости a и степеней свободы m и k можно вычислить с помощью функции FPACПОБР(a; m; k). Эта функция находит критическую точку из соотношения , где – случайная величина (3.16). Вычисление критических точек распределения Фишера необходимо для проверки статистических гипотез, о которых более подробно будет изложено в гл. 5.

Замечание: при использовании FPACПОБР(a; m; k) следует помнить, что второй аргумент m – число степеней свободы для той выборки, дисперсия которой больше. Такие критические точки содержатся в обычных таблицах статистических функций.

§3.8. Гипергеометрическое распределение

Пусть известно, что в генеральной совокупности объема N содержится М элементов с заданным признаком. Из этой генеральной совокупности производится выборка из n элементов. Тогда вероятность того, что среди отобранных n элементов ровно m будут иметь указанный признак, вычисляется по формуле

. (3.18)

Вероятность, вычисляемая по формуле (3.18) называется гипергеометрической.

Пусть X - дискретная случайная величина, равная числу элементов с заданным признаком в выборке объема n из генеральной совокупности объема N, содержащей М элементов с заданным признаком. Тогда закон распределения дискретной случайной величины X, возможные значения которой m =0, 1, 2,…, min(M, n), а вероятности вычисляются по формуле (3.18), называется гипергеометрическим распределением.

Гипергеометрическая вероятность (3.18) вычисляется в Excel с помощью функции ГИПЕРГЕОМЕТ(m; n; M; N), где m – число элементов с заданным признаком в выборке, n – объем выборки, M – число элементов с заданным признаком в генеральной совокупности, N – объем генеральной совокупности.

§3.9. Другие статистический распределения

Помимо рассмотренных выше статистических распределений существует ряд менее используемых распределений.

Экспоненциальное распределение.

Экспоненциальным (или показательным) называется непрерывное распределение вероятностей, плотность которого определяется по формуле:

, (3.19)

для х >0 и f (x)=0 для x <0, а число l называется параметром экспоненциального распределения. По формуле (3.4) легко найти интегральную функцию экспоненциального распределения:

, (3.20)

для х >0 и F (x)=0 для х <0.

Для экспоненциального распределения среднее значение случайной величины равно ее стандартному отклонению и равно 1/l.

В Excel экспоненциальное распределение вычисляется функцией ЭКСПРАСП(х; l; тип), где тип ={ложь, истина}. Если указать ложь, то будет вычислена плотность экспоненциального распределения по формуле (3.19), а если указать вместо тип – истина, то будет вычислена интегральная функция (3.20).

Распределение Вейбулла.

Распределением Вейбулла называется непрерывное распределение вероятностей, плотность которого определяется формулой:

, (3.21)

где a и b - параметры распределения Вейбулла. По формуле (3.4), используя (3.21), можно найти интегральную функцию распределения Вейбулла:

. (3.22)

Если a=1 и b=1/l, то распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным, т.е. (3.21) совпадает с (3.19), а (3.22) – с (3.20).

В Excel распределение Вейбулла вычисляется функцией ВЕЙБУЛЛ(х; a; b; тип), где параметр тип определяет, какую функцию вычислять плотность или интегральную функцию. Если в качестве этого параметра указать ложь, то будет вычислена плотность (3.21), а если – истина, то интегральная функция (3.22).

Гамма-распределение.

Гамма-распределением (g-распределением) называется распределение непрерывной случайной величины, плотность которого определяется формулой:

, (3.23)

где a, b - параметры g-распределения, - гамма-функция Эйлера.

Если b=1, то g-распределение называется стандартным. Если и b=1/l, то плотность g-распределения (3.23) совпадает с экспоненциальным (3.19).

Если a= k /2, где k - целое положительное число, , то g-распределение (3.23) совпадает с распределением Пирсона (3.13) с k степенями свободы.

В Excel g-распределение вычисляется функцией ГАММАРАСП(х; х; a; b; тип), где параметр тип такой же, как и для предыдущих функций: если тип =истина, то вычисляется интегральная функция g-распределения, а если тип =ложь, то вычисляется плотность (3.23).

В Excel можно вычислить обратную и интегральную функции g-распределения функции ГАММАОБР(p;a; b), где p - вероятность, для которой следует найти аргумент х интегральной функции g-распределения.

В формулу (3.23) входит гамма-функция Эйлера, определяемая равенством:

. (3.24)

В Excel имеется функция ГАММАНЛОГ(a), вычисляющая ln(G(a)). С помощью этой функции можно вычислить непосредственно гамма-функцию (3.24) по формуле: =EXP(ГАММАНЛОГ(a)).

Практические задания

3.1. Графики функции нормального распределения

Построить на одном рисунке графики функции нормального распределения для s=3 и различных значений а: -2; 0; 2; 5. На другом рисунке построить графики функции нормального распределения для а =2 и различных значений s: 1; 3; 4,6.

Для выполнения этого задания проделайте следующие пункты.

1. Сначала постройте графики F (x) нормального распределения для фиксированного s и различных а. Это позволит увидеть изменение формы кривой с изменением среднего значения.

2. В ячейку А1 наберите: -10. Выделите эту ячейку и выполните команду Правка ® Заполнить ® Прогрессия.

3. В появившемся диалоговом окне Прогрессия установите:

· в поле Шаг: 0,5;

· в поле Предельное значение: 10;

· в группе Расположение активизируйте переключатель по столбцам и нажмите ОК.

В результате интервал ячеек А1:А41 будет заполнен числами от –10 до 10 с шагом 0,5. Эти числа будут значениями переменной х, для которой будем вычислять F (x).

4. В ячейку В1 поместите значение функции нормального распределения для числа, содержащегося в А1, и а =-2, s=3. Для этого в В1 следует набрать формулу: =НОРМРАСП(А1; -2; 3; истина). Далее в ячейку С1 наберите формулу: =НОРМРАСП(А1; 0; 3; истина); в ячейку D1 – формулу: =НОРМРАСП(А1; 2; 3; истина); в ячейку Е1 - формулу: =НОРМРАСП(А1; 5; 3; истина).

5. Заполнить все ячейки этими формулами по столбцам проще всего с помощью таблицы подстановки. Для этого выделите диапазон А1:Е41 и выполните команду Данные ® Таблица подстановки. В появившемся диалоговом окне Таблица подстановки поместите курсор в поле Подставлять значения по строкам в, а затем щелкните мышью по ячейке А1 и нажмите ОК. В результате получится таблица, содержащая для каждого х значение F (x) при s=3 и а =-2 (в столбце В); а =0 (в столбце С); а =2 (в столбце D) и а =5 (в столбце Е).

6. Сразу, не снимая выделения с таблицами, вызовите Мастер диаграмм и выберите в нем Тип: Точечная и Вид: точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров и нажмите Готово.

7. Самостоятельно отредактируйте полученную диаграмму и приведите ее к следующему виду:

Из этого рисунка видно, что с увеличением среднего значения а и фиксированном стандартном отклонении s кривая интегральной функции распределения перемещается параллельным переносом слева направо (без деформации формы).

8. Теперь постройте графики интегральной функции распределения для фиксированного а =0 и различных s, указанных в задании.

9. Перейдите на другой рабочий лист и с помощью автозаполнения, точно также, как и в п.2-3, заполните столбец А значениями х.

10. В ячейку В1 наберите формулу: =НОРМРАСП(А1; 0; 1,5; истина); в С1 - формулу: =НОРМРАСП(А1; 0; 3; истина); в D1 – формулу: =НОРМРАСП(А1; 0; 4,5; истина).

11. Повторите процедуру п.5-6 для использования таблиц подстановки и построение диаграммы.

12. Полученную диаграмму приведите к виду:

Из этого рисунка видно, что кривая интегральной функции распределения при фиксированном среднем значении а и с увеличением стандартного отклонения s деформируется, растягиваясь симметрично относительно центральной точки с координатами (0; 0,5).

3.2. Графики биномиального распределения

Построить на одном рисунке графики биномиального распределения (3.8) для фиксированной вероятности р =0,2 и различных значений числа испытаний n: 5; 10; 20; 50. На другом рисунке построить графики этой же функции для фиксированного числа испытаний n =20 и различных значений вероятности р: 0,1; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9.

Для выполнения этого задания проделайте следующие пункты.

1. Перейдите на следующий рабочий лист.

2. В ячейку А1 наберите число 0, и заполните ячейки ниже целыми числами до 20 с помощью автозаполнения. Тогда в интервале ячеек А1:А21 будут содержаться значения m, для которых будет вычисляться вероятность по формуле Бернулли (3.8).

3. В ячейку В1 наберите формулу: =БИНОМРАСП(А1; 5; 0,2; ложь); в С1 – формулу: =БИНОМРАСП(А1; 10; 0,2; ложь); в D1 - формулу: =БИНОМРАСП(А1; 20; 0,2; ложь); в Е1 - формулу: =БИНОМРАСП(А1; 50; 0,2; ложь).

4. Теперь с помощью Таблиц подстановки по процедуре, описанной в задании 3.1 п.5 создайте таблицу значений распределения Бернулли. Полученная после этого таблица должна занимать диапазон А1:Е21 и содержать значения вероятностей, вычисленных по формуле Бернулли для р =0,2 и различных чисел испытаний n: 5; 10; 20 и 50, соответственно.

5. Не сбрасывая выделения с этой таблицы, вызовите Мастер диаграмм и выберите: Точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров и нажмите Готово.

6. Самостоятельно приведите полученную диаграмму к следующему виду:

Из этого рисунка видно, что при фиксированной вероятности наступления события А с увеличением числа независимых испытаний n кривые «расплываются»: максимумы уменьшаются, смещаясь вправо. Это означает, что с увеличением числа испытаний n, наивероятнейшее число появлений события А (т.е. такое число m, для которого вероятность максимальная) смещается в сторону больших значений.

7. Теперь постройте аналогичным образом графики функции по формуле Бернулли (3.8) для фиксированного числа независимых испытаний n =20 и различных вероятностей р, указанных в условии задания.

8. Перейдите на следующий рабочий лист и заполните столбец А точно также, как и в п.2 этого здания.

9. В ячейку В1 наберите формулу: =БИНОМРАСП(А1; 20; 0,1; ложь); в ячейку С1 – формулу: =БИНОМРАСП(А1; 20; 0,25; ложь); в D1 - формулу: =БИНОМРАСП(А1; 20; 0,5; ложь); в Е1 - формулу: =БИНОМРАСП(А1; 20; 0,75; ложь); в F1 - формулу: =БИНОМРАСП(А1; 20; 0,9; ложь).

10. С помощью Таблицы подстановки заполните этими формулами все ячейки ниже до 21-й строки. Тогда диапазон А1:F21 будет содержать значения вероятностей, вычисленных по формуле Бернулли для n =20 и p =0,1 (в столбце В); p =0,25 (в столбце С); p =0,5 (в столбце D); p =0,75 (в столбце Е); и p =0,9 (в столбце F).

11. Повторив действия п.5 этого задания, постройте графики биномиального распределения по полученной таблице и приведите его к виду:

Из этого рисунка видно, что распределение Бернулли для фиксированного числа испытаний n симметрично относительно изменения вероятности p, причем, при p =0,5 наивероятнейшее число есть m = n /2.

3.3. Графики распределения Пуассона

Построить на одном рисунке графики распределения Пуассона (3.10) для различных значений параметра l: 0,1; 0,5; 1; 2; 5; 10.

Для выполнения этого задания проделайте следующие пункты.

1. Перейдите на следующий рабочий лист.

2. В ячейку А1 наберите число 0, и заполните ячейки ниже целыми числами до 20 с помощью автозаполнения. Тогда в интервале ячеек А1:А21 будут содержаться значения m, для которых будет вычисляться вероятность по формуле Пуассона (3.10).

3. В ячейку В1 наберите формулу: =ПУАССОН(А1; 0,1; ложь); в С1 – формулу: =ПУАССОН (А1; 0,5; ложь); в D1 – формулу: =ПУАССОН(А1; 1; ложь); в Е1 – формулу: =ПУАССОН(А1; 2; ложь); в F1 – формулу: =ПУАССОН(А1; 5; ложь); в G1 – формулу: =ПУАССОН(А1; 10; ложь).

4. Теперь с помощью Таблиц подстановки по процедуре, описанной в задании 3.1 п.5 создайте таблицу значений распределения Пуассона. Полученная после этого таблица должна занимать диапазон А1:Е21 и содержать значения вероятностей, вычисленных по формуле Пуассона для р =0,2 и различных чисел испытаний n: 5; 10; 20 и 50, соответственно.

5. Не сбрасывая выделения с этой таблицы, вызовите Мастер диаграмм и выберите: Точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров и нажмите Готово.

6. Самостоятельно приведите полученную диаграмму к следующему виду:

Из этого рисунка видно, что изменение формы кривых распределения Пуассона (3.10), с ростом параметра l похоже на динамику кривых распределения Бернулли (3.8).

3.4. Графики распределения Стьюдента

Построить на одном рисунке графики интегральной функции распределения Стьюдента для чисел степеней свободы 2; 4; 10 и стандартной функции нормального распределения. На другом рисунке построить графики плотности стандартного нормального распределения и плотности распределения Стьюдента по формуле (3.15) для чисел степеней свободы 2; 4.

Для выполнения этого задания проделайте следующие пункты.

1. Перейдите на новый рабочий лист.

2. В столбце А разместите значения переменной х от 0 до 10 через 0,5 с помощью автозаполнения, начиная с ячейки А1.

3. В ячейку В1 поместите формулу: =1-СТЬЮДРАСП(А1; 2; 1); в ячейку С1 - формулу: =1-СТЬЮДРАСП(А1; 4; 1); в ячейку D1 - формулу: =1-СТЬЮДРАСП(А1; 10; 1); в ячейку Е1 - формулу: =НОРМСТРАСП(А1).

4. С помощью Таблиц подстановки заполните диапазон А1:Е1 данными, необходимыми для построения графиков.

5. Проделывая действия, описанные в предыдущих заданиях, постройте графики на одной диаграмме и приведите ее к следующему виду:

Жирной сплошной линией на этом рисунке выделена кривая стандартного нормального распределения. Видно, что с ростом числа степеней свободы k интегральная функция распределения Стьюдента быстро стремится к интегральной функции стандартного нормального распределения (3.7).

6. Теперь постройте на одном рисунке графики плотности стандартного нормального распределения и плотности распределения Стьюдента для различных значений числа степеней свободы k, указанных в задании.

7. Перейдите на следующий рабочий лист. Заполните ячейки столбца А, начиная с А1, числами от –6 до 6 через 0,5, используя процедуру автозаполнения.

8. В какую-либо справа ячейку, например, в Н1, поместите число степеней свободы 2, а в ячейку Н2 - число степеней свободы 4.

9. В ячейку I1 поместите нормировочный множитель плотности распределения Стьюдента. Для этого наберите в эту ячейку формулу: =EXP(ГАММАНЛОГ((H1+1)/2))/(КОРЕНЬ(ПИ()*H1)*EXP(ГАММАНЛОГ(H1/2))). Затем скопируйте эту формулу в ячейку I2. В результате в ячейке I1 должно получиться число 0,35355339, а в I2 – число 0,375.

10. В ячейку В1 поместите плотность распределения Стьюдента (3.15). Для этого наберите в эту ячейку формулу: =(1+А1^2/H1)^(-(H1+1)/2)*I1, в ячейку С1 наберите формулу: =(1+A1^2/H2)^(-(H2+1)/2)*I2.

11. В ячейку D1 поместите стандартную плотность нормального распределения (3.5). Для этого в D1 наберите формулу: =НОРМРАСП(А1; 0; 1; ложь).

12. Выделите диапазон ячеек А1:D25 и с помощью Таблиц подстановки заполните его значениями набранных функций. Затем вызовите Мастер диаграмм и постройте графики. Полученную диаграмму приведите к виду:

Жирной сплошной линией выделена кривая плотности стандартного нормального распределения (3.5). Видно, что с ростом k к этой линии стремятся кривые плотности распределения Стьюдента (3.15).