Построение математической модели

Составление модели начинается с введения переменных. Переменные являются элементами языка, на котором будет сформирован производственный план. Такой план в данном случае - это пара величин, соответствующих объемам производства (количеству килограммов) продукции одного и другого вида. Обозначим посредством - объем производства первого вида продукции, посредством - объем производства второго вида продукции. Следует найти наилучший (оптимальный) производственный план, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

Переменные, которые мы ввели, позволяют выразить ограниченность ресурсов в математической форме.

Неравенства показывают расход ресурсов на изготовление продукции и доступные объемы ресурсов.

Эта система неравенств выражает, что суммарные расходы каждого из трех ресурсов в количестве кг первого вида продукции и второго вида продукции в количестве кг (левая часть неравенства) не должны превосходить доступных запасов ресурсов (правая часть неравенства).

Кроме того, объем произведенной продукции не может быть отрицательной величиной, то есть:

,

Таким образом, в целом мы получаем систему неравенств, характеризующих в математической форме условия составления плана производства продукции.

Такая система неравенств носит название системы ограничений задачи. Любая пара значений переменных, то есть вектор (, ), называется планом задачи.

- план выпуска продукции

Те пары значений, которые удовлетворяют всем неравенствам системы, то есть те планы, которые удовлетворяют системе ограничений, называются допустимыми планами.

Мы хотим определить тот из допустимых планов, для которого выручка является максимальной. Выражение для выручки представляет собой математическую запись нашей цели при решении задачи. Такое выражение называется целевой функцией задачи. Мы хотим найти наибольшее значение целевой функции на множестве допустимых планов задачи.

- максимальная прибыль от реализации

Математическая запись цели и условий (ограничений) задачи выглядит теперь следующим образом.

Такая запись носит название математической модели задачи. Она представляет собой соединение целевой функции (с указанием отыскиваемого вида экстремума) и системы ограничений.

Построение математической модели приносит двоякую пользу. Во-первых, оно позволяет сформулировать задачу в ясной, отчетливой форме. Такая форма дает возможность быстро распознать допустимые и недопустимые планы, рассчитать соответствующую выручку. Во-вторых, построение модели позволяет превратить содержательную экономическую задачу в чисто математическую задачу о поиске максимального значения функции при условии, что переменные подчинены определенной системе ограничений. При решении этой математической задачи можно не знать ничего о смысле входящих в нее переменных и выражений, забыть, что речь идет о видах продукции, ресурсах и выручке. Это позволяет использовать при ее решении универсальные математические методы, привлечь для решения вычислительную технику и программные средства.