Необходимое и достаточное условия разрешимости транспортной задачи

Ограничение (1) и условия неотрицательности переменных, исключающие обратные перевозки x_ij>0; i= 1, 2, …, k; j= 1, 2,., l.

Эти условия образуют систему ограничений. Любой план, компоненты которого удовлетворяют этой системе, будет допустимым.

Как видим, система ограничений задана в основном (k + l) уравнениями. Установим условия, при которых эта система будет совместной, т.е. будет иметь решения.

Сложим элементы x _ij матрицы перевозок по строкам, каждая строка в сумме дает M_i, и в итоге получим . Сложим те же элементы по столбцам, каждый столбец дает N_j, и в сумме получим . Но от перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому для любого допустимого плана обязательно будет выполняться условие

.

Равенство является необходимым условием совместности ограничений задачи.

Докажем и достаточность этого условия: если запасы равны потребностям, то всегда имеется допустимый план.

Действительно, пусть . Рассмотрим такие числа:

Убедимся, что эти числа образуют допустимый план. Для этого достаточно проверить, что они удовлетворяют всем ограничениям задачи.

Просуммируем эти числа по индексу i:

.

Но величины N_j, от индекса i не зависят и их можно вынести за знак суммы. В результате

или

,

Следовательно, взятые числа удовлетворяют группе уравнений (1).

Просуммируем эти числа по индексу j:

Вынося постоянные M_i и за знак суммы и имея в виду, что , получаем

или в развернутом виде

Как видим, наши числа удовлетворяют группе уравнений (1). Эти числа неотрицательны, т.е. система ограничений полностью удовлетворяется. Таким образом, допустимый план существует, что и требовалось доказать.

Равенство запасов потребностям есть необходимое и достаточное условие совместности и, следовательно, разрешимости транспортной задачи.