Теоремы линейного программирования

Для обоснования методов решения задач линейного программирования сформулируем ряд важнейших теорем, подтверждая их справедливость дальнейшими геометрическими построениями и опуская аналитические доказательства этих теорем. Вначале дадим некоторые определения.

Определение 1. Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их.

На рис. 2.1 изображено выпуклое множество (выпуклый многоугольник), а на рис. 2.2 - невыпуклое.

рис. 2.1	рис. 2.2

Определение 2. Пересечение конечного числа выпуклых множеств также выпуклое множество.

Определение 3. Точка выпуклого множества называется угловой (или крайней), если через неё нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек данного множества и для которого она была бы внутренней.
Для выпуклого многоугольника угловыми точками являются все его вершины. В пространстве выпуклое множество с конечным числом угловых точек называется выпуклым многогранником.

Утверждение 1. Множеством решений системы m линейных неравенств с n переменными является выпуклый многогранник в n-мерном пространстве (исключая случай, когда система несовместна).

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.
Ранее говорилось, что ограничениями любой задачи линейного программирования являются либо система линейных уравнений, либо система линейных неравенств. Совокупность решений таких систем при условии их совместности, образует выпуклые множества с конечным числом угловых точек. В частном случае, когда в систему ограничений - неравенств входят только две переменные x1 и x2 это множество можно изобразить на плоскости (см.3).

Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с одной (двумя) из угловых точек множества допустимых решений.
Справедливость этого утверждения иллюстрируется в примере 3.

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений системы ограничений, и наоборот.