УПРАЖНЕНИЯ. 13. Управление УВД Стукова выделило 3 премии для сотрудников оперативных групп

13. Управление УВД Стукова выделило 3 премии для сотрудников оперативных групп. В фуражку начальника положили 8 фантов с фамилиями всех сотрудников. Какова вероятность того, что первую премию получит следователь Зубов, вторую – оперативник Прокопенко, третью – эксперт Зульфия?

14. В команде по синхронному плаванию Независимо международного университета из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. Для участия в соревновании выбирают четверых. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?

15. В милицейском колледже города Брюкова экзамены сдают так. Студент выбирает пять вопросов и получает столько баллов, на сколько вопросов он правильно ответил. Студент Громов знает 15 вопросов из 24. Какова вероятность того, что он получит пятерку?

Определение. События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Иными словами, события А и В независимы, если выполняются следующие условия:

Р(А/В) – Р(А), Р(В/А) = Р(В) (8)

С учетом равенств (8) формула (5) примет такой вид:

Р(АВ) = Р(А)Р(В) (9)

Итак, мы получили еще одну важную теорему.

Теорема 4. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Задача. Два стрелка независимо один от другого делают по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком — 0,5, вторым — 0,6. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что мишень поразил первый стрелок, а событие В — в том, что мишень поразил второй стрелок. По условию Р(А) = 0,5 и Р(В) = 0,6. Рассмотрим противоположные события: — промах первого стрелка, — промах второго. По теореме 2 получаем Р() = 1 – 0,5 = 0,5 и Р () = = 1 - 0,6 = 4. Произведение событий • означает промах обоих стрелков. По смыслу задачи события А и В являются независимыми, поэтому и противоположные события и также будут независимыми. По формуле (9) мы получаем вероятность того, что оба стрелка промахнутся: Р( • ) = 0,5 • 0,4 = 0,2. Нас же интересует вероятность противоположного события, состоящего в том, что мишень поражена. Поэтому искомую вероятность мы находим по формуле (2): 1 - 0,2 = 0,8.