Лема про неперервність інтеграла з параметром

№ 27. Кратний інтеграл: зведення до повторного.

№28. Кратний інтеграл: заміна змінних. Полярна, сферична та циліндрична с-ми координат.

· Полярна система координат

Полярну систему координат застосовують для визначення точок та векторів, що лежать у певній площині.

Введемо у розгляд пряму лінію, яка починається з деякої точки O та йде на нескінченність. Таку пряму називають променем. Точку O називають полюсом.

Положення будь-якої точки P на площині можна визначити, якщо відомі дві величини – по-перше, полярний кут між радіус-вектором r цієї точки та променем, і по-друге, модуль радіус-вектора r. Отже, координатами точки та її радіус-вектора в полярній системі координат є впорядкована пара чисел , які заведено вказувати в дужках праворуч від символу, що позначає точку, тобто писати . Вважають, що величина кута зростає, коли r обертається навколо полюса в напрямку, протилежному до напрямку обертання стрілки годинника. Також вважають, що значення кута лежить в інтервалі Цим встановлюється взаємно однозначна відповідність між точками та парами координат.

Координатні лінії це сімейство кіл різних радіусів з центрами у полюсі, а лінії є сімейством променів, що виходять з полюса.

Рис. 15

Полярну систему координат зображено на рис. 15 разом з прямокутною системою, причому вісь OX спрямовано вздовж променя, а полюс суміщено з початком прямокутних координат. У такому разі

(5.6)

Складаючи x ² та y ², одержуємо обернені співвідношення

(5.7)

Формули (5.6), (5.7) дозволяють у разі потреби переходити від прямокутної системи координат до полярної, і навпаки. Якобіан переходу

існує для всіх значень r за винятком і не дорівнює нулю. У точці якобіан не існує, а тому їй відповідає безліч значень полярного кута.

· Циліндрична система координат

Циліндрична система координат призначена для роботи з векторами та точками в тривимірному просторі. Вона складається з площини, на якій введено полярні координати, та осі OZ, перпендикулярної до цієї площини. На рис. 16зображено циліндричну систему координат, яку для зручності суміщено з декартовою.

Будь-який вектор r можна представити у вигляді суми векторів r _ та r _, перший з яких спрямований уздовж, а другий – поперек осі OZ. Отже, r = r _ + r _. Координатами точки та її радіус-вектора r у циліндричній системі є впорядкована трійка чисел (r _, , z). Кут визначає напрямок вектора r _, число r _ дорівнює довжині цього вектора, координата z дорівнює довжині вектора r _. Треба підкреслити, що значення r _ зазвичай пишуть у дужках на першому місці, значення кута – на другому, а z – на третьому.

Рис. 16

Координатні поверхні циліндричної системи:

– сімейство кругових циліндрів різних радіусів з віссю OZ;

– сімейство напівплощин, краєм яких є вісь OZ;

– сімейство площин паралельних до площини XOY.

Перехід від циліндричних координат до декартових здійснюється за формулами

(5.8)

(Обернений перехід виконується за формулами (5.7), в яких r треба замінити на r _). Якобіан переходу

Якобіан не існує коли тобто на осі OZ, на якій порушується взаємно однозначна відповідність точок та їх координат.

· Сферична система координат

Сферичну систему координат зображено на рис. 17 разом із декартовими осями. Ця система складається з тих самих елементів, що й циліндрична (тобто з осі OZ та перпендикулярної до неї площини). Але сферичними координатами точки в просторі та її радіус-вектора r є числа (r, , ). Перше з цих чисел є модулем r, друге – кутом між r та віссю OZ, третє – кутом між r _ та променем полярної системи координат на площині. Щоб встановити однозначну відповід­ність між точками простору та їх сферичними координатами, встановлюють певні обмеження на значення полярного кута та азимутального кута , а саме, вважають, що

отже, інтервали значень полярного та азимутального кутів різні!

Рис. 17

Координатні поверхні сферичної системи:

– сімейство сфер різних радіусів з центром у точці О;

– сімейство напівконусів з віссю OZ та вершиною в точці О;

– сімейство напівплощин краєм яких є вісь OZ.

Як випливає з рис. 17 та виразів (5.8), від сферичних координат до декартових треба переходити за формулами

(5.9)

а від декартових до сферичних – за допомогою формул

(5.10)

Якобіан переходу

Якобіан не існує для точок осі OZ, на якій порушується взаємно однозначна відповідність точок та їх координат.

5.20. Зауваження. Не зважаючи на те, що кути полярної, циліндричної та сферичної систем називають координатами, величини  і не є коефіцієнтами розкладів по ортах, на зразок (5.3), (5.4).