Раздел 6. Элементы теории вероятности

Тема 6.1. Основные понятия комбинаторики

В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения и сочетания.

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом P_n, где n -число элементов, входящих в каждую перестановку.

Число перестановок можно вычислить по формуле: P_n = n!

(n! – n-факториал – произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно)

Например:

Комбинации из m элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов, называются размещениями.

Размещения обозначаются символом , где m- число всех имеющихся элементов, n- число элементов в каждой комбинации. При этом полагают, что

Число размещений можно вычислить по формуле:

Тема 6.2. Основные понятия теории вероятности

В жизни часто встречаются явления, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая. Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить ли не наступить.

Теория вероятности есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления и выявляются закономерности при массовом их повторении.

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими исходами, реализуемое при данном комплексе условий, называется испытанием. Результат этого испытания – случайное событие. Какое-либо определенное событие из всех возможных событий называется искомым событием. События принято обозначать: A, B, C, D…

События называются несовместными, если никакие два из них не могут наступить одновременно. В противном случае события называются совместными. Событие называется достоверным, если оно происходит в данном испытании обязательно, невозможным - не может произойти.

Пусть имеется 100 деталей, из которых 97 стандартных и 3 бракованных. Очевидно, что если взять одну деталь, то событие А, состоящее в том что эта деталь стандартная, и событие В, состоящее в том, что эта деталь бракованная, не равновозможны. Событие А более возможно, более вероятно, чем событие В.

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А).

Вероятность события А равна отношению числа m исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, т.е. Р(А)= .

Свойства:

1.Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

2.Вероятность достоверного события равна единице.

3.Вероятность невозможного события равна нулю.

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Теорема сложения вероятностей: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что 5 билетов выигрышем 20 рублей,10 билетов- по 15 рублей, 15 билетов- по 10 рублей, 25 билетов- по по 2 рубля, и остальные билеты невыигрышные. Найти вероятность того, что купленный билет будет выигрышем не меньше 10 рублей.

Р е ш е н и е: Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш. Равный соответственно 20, 15 и 10 рублей. Т.к. А, В, С несовместные события, то Р(А+В+С)= Р(А)+Р(В)+Р(С) =

Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в том, что каждое из них произойдет.

Событие А называется независимым от события В, если наступление события В, не оказывает ни какого влияния на вероятность наступления события А.

Теорема умножения вероятностей: Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми»?

Р е ш е н и е: Пусть А- из первой урны извлечен белый шар, В- из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что оба события независимы.

Тогда Р(АВ)=Р(А) Р(В)=

Рекомендуемая литература