Определение отношения теплоемкостей воздуха при постоянном давлении и постоянном объеме

Цель работы – изучение процессов в идеальных газах, определение отношения теплоемкостей для воздуха.

ТЕОРИЯ МЕТОДА

Удельной теплоемкостью вещества называется величина, равная количеству теплоты, которую необходимо сообщить единице массы вещества для увеличения ее температуры на один Кельвин

. (1)

Теплоемкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью

, (2)

где m – масса; µ – молярная масса вещества. В термодинамике обычно более удобно использовать молярную теплоемкость.

Значение теплоемкости газа зависит от вида процесса, происходящего в газе. Согласно первому началу термодинамики количество теплоты δQ, сообщенной системе, расходуется на изменение внутренней энергии dU и на совершение системой работы δА против внешних сил

δQ = dU + δА. (3)

Изменение внутренней энергии идеального газа в случае изменения его температуры на dТ равно

, (4)

где i – число степеней свободы молекулы, под которым подразумевается число независимых координат, определяющих положение и конфигурацию молекулы в пространстве: i = 3 для одноатомной, i = 5 для двухатомной жесткой молекулы, i = 6 для трех- и многоатомных жестких молекул; R – универсальная газовая постоянная (R = 8,31 Дж/моль·К).

При расширении газа производится элементарная работа

δА = РdV. (5)

Если газ нагревать при постоянном объеме V = const, то δА = 0 и, согласно (3), все полученное газом количество теплоты расходуется только на увеличение его внутренней энергии δQ_V = dU.

Учитывая (4), молярная теплоемкость газа при постоянном объеме равна

. (6)

Если газ нагревать при постоянном давлении Р = const, то полученное газом малое количество теплоты δQ_Р расходуется на изменение внутренней энергии dU и совершение элементарной работы δА = РdV, δQ_Р = dU + РdV. Тогда молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении равна

. (7)

Используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) , можно доказать, что для одного моля газа и поэтому

C_P = C_V + R. (8)

Соотношение (8) называется формулой Майера. Тогда

и . (9)

Адиабатным называют процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой: δQ = 0. На практике он может быть осуществлен в системе, окруженной теплозащитной оболочкой, но так как для теплообмена необходимо некоторое время, то адиабатным можно считать также процесс, который протекает так быстро, что система не успевает вступить в теплообмен с окружающей средой.

Первый закон термодинамики с учетом (4) – (6) для адиабатного процесса имеет вид:

. (10)

Взяв полный дифференциал от левой и правой частей уравнения Менделеева-Клапейрона и подставляя dТ в формулу (10), получим (C_V + R)PdV + C_VVdP = 0.

Учитывая соотношение между молярными теплоемкостями идеального газа при постоянном давлении и объеме, которое описывается формулой Майера (8), а также (9), получим:

.

Решение написанного дифференциального уравнения имеет вид:

. (11)

Уравнение (11) называется уравнением адиабаты (уравнением Пуассона), а введенная в (9) величина γ – показателем адиабаты.

Метод определения показателя адиабаты, предложенный Клеманом и Дезормом (1819 г.), основывается на изучении параметров некоторой массы газа, переходящей из одного состояния в другое двумя последовательными процессами – адиабатным и изохорным. Эти процессы на диаграмме P – V (рис. 1) изображены кривыми 1-2 и 2-3 соответственно. Если в баллон, соединенный с открытым водяным манометром, накачать воздух и подождать до установления теплового равновесия с окружающей средой, то в этом начальном состоянии 1 температура газа в баллоне равна температуре окружающей среды Т₁ = Т₀, а давление Р₁ = Р₀ + Р’ немного больше атмосферного.

Рис. 1. Процессы изменения состояния газа в течение опыта.

Если теперь на короткое время соединить баллон с атмосферой, то произойдет адиабатное расширение воздуха. При этом воздух в баллоне перейдет в состояние 2, его давление понизится до атмосферного Р₂ = Р₀. Масса воздуха, оставшегося в баллоне, которая в состоянии 1 занимала часть V₁ объема баллона, расширяясь, займет весь объем V₂. При этом температура воздуха, оставшегося в баллоне, понизится до Т₂. Поскольку процесс 1-2 – адиабатный, к нему можно применить уравнение Пуассона (11)

или .

Отсюда

. (12)

После кратковременного соединения баллона с атмосферой охлажденный из-за адиабатного расширения воздух в баллоне будет нагреваться (процесс 2-3) до температуры окружающей среды Т₃ = Т₀ при постоянном объеме V₃ = V₂. При этом давление в баллоне поднимается до Р₃ = Р₂ + Р”. Поскольку процесс 2-3 – изохорный, к нему можно применить закон Шарля , отсюда

. (13)

Из уравнений (12) и (13) получим

.

Прологарифмируем:

.

Поскольку избыточные давления P’ и P” очень малы по сравнения с атмосферным давлением Р₀ и, учитывая, что при х << 1 ln(1+x) ≈ x, будем иметь (γ – 1) P’ = γP”. Откуда

. (14)

Избыточные давления P’ и P” измеряются с помощью U-образного манометра по разности уровней жидкости с плотностью ρ

P’ = ρgH; P”= ρgh. (15)

Из (14) и (15) получим расчетную формулу для определения γ

. (16)

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Для определения отношения теплоемкостей воздуха предназначена экспериментальная установка ФТП1-6, общий вид которой представлен на рис. 2.

Рис. 2. Общий вид экспериментальной установки ФТП1-6. 1 – стойка; 2 – манометр; 3 – блок приборов; 4 – тумблер «Воздух»; 5 – тумблер «Атмосфера».

Установка состоит из стеклянной колбы, находящейся внутри блока приборов 3 и соединенной с открытым водяным манометром 2. Воздух нагнетается в колбу микрокомпрессором, размещенным в блоке приборов 3. Микрокомпрессор включается тумблером «Воздух» 4, установленным на передней панели блока приборов. Пневмотумблер «Атмосфера» 5, расположенный на панели блока приборов, в положении «Открыто» позволяет соединить колбу с атмосферой.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Включить установку тумблером «Сеть».

2. Установить пневмотумблер «Атмосфера» в положение «Закрыто». Для подачи воздуха в колбу включить тумблер «Воздух».

3. С помощью манометра контролируют давление в колбе. Когда разность уровней воды в манометре достигнет 150...250 мм вод.ст., отключить подачу воздуха.

4. Подождать 2...3 минуты, пока температура воздуха в колбе сравняется с температурой окружающего воздуха Т₀; в колбе при этом установится постоянное давление Р₁ = Р₀ + ρgH. Определить разность уровней H, установившуюся в коленах манометра, и полученное значение занести в таблицу.

Таблица

№ измерения	H, мм вод.ст.	h, мм вод.ст.	γ

5. На короткое время соединить колбу с атмосферой, установив пневмотумблер «Атмосфера» в положение «Открыто». Как только разность высот в коленах станет равной нулю, быстро прекратить связь колбы с атмосферой.

6. Через 2...3 минуты, когда в колбе установится постоянное давление Р₃ = Р₀ + ρgh, определить h, установившуюся в коленах манометра, и полученное значение занести в таблицу.

7. Повторить измерения по п.п. 2-6 не менее 10 раз при различных значениях величины H.

8. Выключить установку тумблером «Сеть».

9. Для каждого измерения определить по формуле (16) отношение теплоемкостей γ. Данные занести в таблицу. Найти среднее значение < γ>.

10. Оценить погрешность измерения результатов.

Внимание!

1. Студент включает установку и начинает выполнять работу только под контролем преподавателя или лаборанта.

2. При выполнении п.п. 2-3 разность высот жидкости в коленах манометра не должна превышать 25 см. По достижении такой разности необходимо быстро отключить подачу воздуха во избежание выброса жидкости из манометра.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики / Д.В. Сивухин. – М.: Изд-во МФТИ, 2003. – Т.2: Термодинамика и молекулярная физика. – 576 с.

2. Кикоин А.К. Молекулярная физика / А.К. Кикоин, И.К. Кикоин. – М.: Наука, 1976. – 480 с.

3. Телесин Р.В. Молекулярная физика / Р.В. Телесин. – М.: Высш.шк., 1973. – 360 с.

4. Матвеев А.Н. Молекулярная физика / А.Н. Матвеев. – М.: Высш.шк., 1981. – 400 с.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое изопроцессы и каким законам они подчиняются? Нарисуйте графики этих процессов.

2. Сформулируйте первый закон термодинамики. Запишите этот закон для изохорного, изобарного, изотермического и адиабатного процессов.

3. Дайте определение удельной и молярной теплоемкости. В каких единицах СИ они измеряются?

4. Как связаны между собой молярные теплоемкости C_P и C_V идеального газа? Выведите формулу Майера.

5. Дайте определение числа степеней свободы молекулы. Чему равна величина i для 1-, 2-, 3- и многоатомного идеальных газов? Как связаны молярные теплоемкости C_P и C_V с числом степеней свободы молекул идеального газа?

6. Рассчитайте теоретическое значение γ для 1-, 2- и 3- атомного идеального газа, считая молекулы жесткими.

7. Какой процесс называется адиабатным? Выведите уравнение этого процесса в переменных P-V, T-V, P-T.

8. В чем заключается метод Клемана и Дезорма для определения отношения ?

9. Опишите рабочий цикл экспериментальной установки по P-V диаграмме.

10. Выведите расчетную формулу для определения γ.

11. Почему и как изменяется температура газа в колбе при проведении опыта?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАбОТА

МЛ-5/3