Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями S ₁ и S ₂ по которой слева направо течет жидкость (рис. 7.18). Пусть в месте сечения S ₁ скорость течения равна v _{1 ,} давление р ₁ и высота, на которой это сечение расположено, h ₁. Аналогично, в месте сечения S ₂ скорость течения v ₂, давление р ₂ и высота сечения h ₂.

За малый промежуток времени D t жидкость перемещается от сечений S ₁ и S ₂ к сечениям и .

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии Е ₂ – Е ₁ идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

Е₂ – Е₁ = А,(7.54)

где Е ₁ и Е ₂ – полные энергии жидкости массой m в местах сечений S ₁ и S ₂ соответственно.

С другой стороны, А – это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S ₁ и S ₂, за рассматриваемый малый промежуток времени D t. Для перенесения массы m от S ₁ до жидкость должна переместиться на расстояние l ₁ = v ₁D t и от S ₂ до - на расстояние l ₂= v ₂D t. Отметим, что l ₁ и l ₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенным на рис. 7.18, приписывают постоянные значения скорости v, давления р и высоты h. Следовательно,

А = F ₁ l ₁ + F ₂ l ₂, (7.55)

где F ₁ = p ₁ S ₁ и F ₂ = - p ₂ S ₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости, см. рис. 7.18).

Полные энергии Е ₁ и Е ₂ складываются из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

, (7.56)

. (7.57)

Подставляя (7.56) и (7.57) в (7.54) и приравнивая (7.54) и (7.55), получим

+ р ₁ S ₁ v ₁D t = + р ₂ S ₂ v ₂D t (7.58)

Объем несжимаемой жидкости остается постоянным, т.е. D V = S ₁ v ₁D t = S ₂ v ₂D t.

Разделив (7.58) на D V, получим

,

где r - плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

. (7.59)