![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Функция называется дифференцируемой, если во всех точках данного множества имеет производную.
Определение. Пусть функция определена на некотором множестве
, и
. Назовём точку
точкой максимума функции
на множестве
, если при всех
выполняется неравенство
, и точкой минимума, если при всех
выполняется неравенство
. Точка
, являющаяся либо точкой максимума, либо точкой минимума, называется точкой экстремума.
Теорема 17.1. (Ферма) Пусть функция имеет на множестве
точку экстремума
, причём множество
содержит некоторую
-окрестность
точки
. Тогда либо
имеет в точке
производную, равную 0, то есть
, либо производная в точке
не существует.
Замечание. Заметим, что условие означает, что тангенс угла
наклона касательной к графику
, проведённой при
, равен 0.
Рис.17.1. Поведение функции в окрестности точки экстремума
Геометрический смысл. Касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).
Теорема 17.2. (Ролля) Пусть функция дифференцируема на интервале
, непрерывна в точках
и
и принимает в этих точках значение 0:
. Тогда найдётся хотя бы одна точка
, в которой
.
Замечание. Теорему можно переформулировать так: между двумя корнями и
дифференцируемой функции
обязательно найдётся корень её производной
(то есть точка
, такая что
).
Геометрический смысл. Условие означает, что касательная, проведённая к графику
при
, расположена горизонтально.
Рис.17.2.
Теорема Ролля не утверждает, что корень - единственный корень производной на интервале
; на этом интервале может находиться несколько корней производной.
Теорема 17.3. (Лагранжа) Пусть функция дифференцируема на интервале
и непрерывна в точках
и
. Тогда найдётся такая точка
, что
Геометрический смысл. Соединим конечные точки графика на отрезке
хордой. Конечные приращения
и
--это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.
Рис.17.3.Касательная в некоторой точке параллельна хорде
Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной
(
) будет равен углу наклона хорды
(
).
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 310 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!