ІІ.5.4. Определение фрактальной размерности крестовых клеточных структур

Выше (см. стр.330) было выведено выражение (1) для определения фрак-тальной размерности различных линей-ных фракталов:

d = ln N / ln(L/u); (1)

Если длину мерного отрезка u при-нять за единицу, то выражение (1) при-обретает вид:

d = ln N / ln L (2), где d – определяемая размерность,

L – число элементов инициатора, принятой для данного преобразования.

N – число единичных отрезков u в

Рис. ІІ.43. Для определения размерности 5-клеточного креста

Рис. ІІ.44. Для определения размерности 29-клеточного креста

Рис. ІІ.45. Для определения размерности 169-клеточного креста

Вывод: По мере фракталь- ного расширения квадрата в крестовые структуры его резу-льтаты усложняются, что вы-зывает возрастание дробной мерности по Хаусдорфу-Бези-ковичу.

генераторе данного преобразования;

В нашем случае за единичный отрезок u принята сторона единичного квадра-та, который подвергается «расшире-нию» в крестовую структуру и является бесконечно малым по отношению к бесконечно большому результату бес-конечной по счету итерации.

Если полагать величину размер-ности фрактала как коэффициент за-полняемости его элементами габарит-ного квадрата, то за величину N логич-но принять количество отрезков u как сторон фигуры фрактала, определяю-щего его периметр, а за величину L – количество единиц u в сторонах габа-ритного квадрата.

Рассмотрим определение фракта-льной размерности 5-клеточного кре-ста (рис. ІІ.43). Для этого в габаритный квадрат ЕКМР, описанный вокруг него, впишем квадрат АВСD, вдоль сторон которого после каждой итерации проис-ходит усложнение граничной линии фрактала.

Так как вершины квадрата АВСD располагаются в серединах сторон ква-драта ЕКМР, то длины его сторон рав-ны половинам диагоналей габаритного квадрата, т.е., АВ=ВС=СD=DА=аÖ 2 / 2, где а – длина L стороны квадрата ЕКМР в единицах измерения u. Тогда периметр квадрата АВСD любого этапа фрактального расширения исходного квадрата будет равен:

R _АВСD = 4 а Ö 2 / 2 = 2 а Ö 2.

1. Для 5-клеточного креста (рис. ІІ.43) N =12 – количество его сторон, L=3 – длина стороны габаритного ква-драта. Тогда периметр

R _АВСD =2 × 3Ö 2 = 6 ×1,414 = 8,484, а

d =ln12 / ln8,484 =1,3863/1,0395 = 1,162.

2. Для 29-клетлчного креста (рис.ІІ.44) N =52, L=9, R_АВСD=2 × 9Ö 2=25,452,

d = ln52 / ln25,452 = 3,9512 / 3,2365 =

= 1,2207.

3. Для 169-клеточного креста:

N =220, L=23 и R _АВСD =46Ö 2=65,044,

тогда

d = ln220/ ln65,044=5,3921/4,17506 =

1,2918

4. Для 985-клеточной структуры

N =932, L=57 и R _АВСD =2×57Ö 2=160,388 тогда

d =ln932/ln160,388=6,83633/5,07759 = = 1,3465. и т.д.