Разложение

Если векторы , , взаимно ортогональны и по модулю равны единице, то они называются ортами прямоугольной декартовой системы координат, а сам базис ортонормированным декартовым базисом. Орты декартовой системы координат обычно обозначают как , , . Согласно определению

(1)

Главная особеннность декартовых базисов состоит в том, что координаты любого вектора в этом базисе равны проекциям этого вектора на три взаимно ортогональных направления, определяемых ортами. Эти направления называют координатными осями декартовой системы координат (рис. 9): оси , и . Точка пересечения координатных осей 0 называется началом координат. Тогда

Рис.9 Декартова система координат

где проекции вектора определены как

(2)

Если орты декартовой системы координат связаны между собой следующими соотношениями

(3)

то такая система координат называется правой. В заданной декартовой системе координат для каждой точки пространства можно ввести так называемый радиус-вектор - направленный отрезок, начинающийся в начале координат и заканчивающийся в данной точке. Координаты радиус-вектора совпадают с декартовыми координатами соответствующей точки (рис. 10):

(4)

Рис.10. К определению радиус-вектора

Модуль радиус-вектора равен расстоянию от начала координат до точки. Отметим следующее. Вектор как направленный отрезок не зависит от системы координат, от выбранного базиса зависят его координаты. Радиус-вектор точки - "привязан" к системе координат и зависит от выбора начала координат. Отметим также, что три орта , , декартовой системы координат и определяемые ими координатные оси полностью эквивалентны. Выражения (1)-(4) аналогичны для каждого орта. Поэтому, для сокращения записи введем следующие обозначения:

(5)

Тогда, декартов базис - это тройка векторов

(6)

Координаты вектора запишутся как:

(7)

и т. д. В дальнейшем будет рассматриваться только трехмерное пространство, поэтому, если специально не указано, то индексы будут принимать значения 1, 2, 3. Например, - это какая-то из трех координат радиус-вектора , как принято в (5).

В новых обозначениях разложение вектора по декартовому базису запишется как

(8)

а радиус-вектора

(9)

В этих выражениях индексы уже не свободны, это индексы суммирования и от них правая часть не зависит (их можно обозначить как угодно), что видно по левой части, где находится вектор. Это соответствие будет выполняться всегда и поэтому нет необходимости писать знак суммы , а для таких выражений принято правило суммирования Эйнштейна: если выражение с индексами содержит парные индексы, то по ним предполагается суммирование (в 3-х мерном пространстве значения индексов изменяются от 1 до 3). Тогда, разложения вектора (8) и радиус-вектора (9) запишутся в сокращенной форме как

(10)

При использовании этого правила следует следить, чтобы количество свободных индексов в правой и левой частях выражения было одинаковым и не менялось при выполнении каких-либо преобразований. Например, из (1) следует, что . Иногда индекс суммирования может быть свернут арифметическим действием. Так, следует понимать как , так как .