Системы материальных точек. Центр масс и теорема о его движении. Момент силы и момент количества. Законы сохранения импульса и момента импульса

Центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на все точки системы. Центр масс двух материальных точек

Рис.10. К определению центра масс

А и В с массами m1 и m2 - точка С, лежащая на отрезке, соединяющем А и В, на расстояниях l 1 и l 2 от А и В, обратно пропорциональных массам точек (рис.10.), т.е. . (3-1). Если положения точек А и В задаются радиус-векторами r1 и r2, то положение центра масс определяется радиусом - вектором R. Из рис.10 следует, что R = r1 + l 1 и R = r2 + l 2 (3-2), Умножая первое из этих уравнений на m1, а второе - на m2 и складывая их, получим: . (3-3)

Из рис.10 и равенства (3-1) следует, что m₂ l ₂ = - m₁ l ₁. С учетом этого соотношения из выражения (3-3) можно определить значение радиуса - вектора R: . (3-4)

Обобщая для произвольного числа материальных точек: , (3-5) = М - полная масса системы точек.

Скорость центра масс такой системы определяется дифференцированием (3-5): . (3-6) Величины m_iv_i - импульсы отдельных точек, поэтому уравнение (3-6) можно переписать: =Р, (3-7) Р-суммарный импульс системы. Дифференцируя (3-7), находим выражение для ускорения центра масс системы А: . (3-8)

Закон изменения импульса системы материальных точек. Рассмотрим движение системы, состоящей из 3 точек, на каждую из которых действуют внутренние силы f_ik и внешние - F_i, где индекс i представляет номер точки. Уравнения движения для каждой точки: (3-9)

Складывая эти уравнения, получим: (3-10)

По 3 закону Ньютона внутренние силы попарно равны по величине и противоположны по направлению (напр, f₁₂ = -f₂₁). Потому сумма всех внутренних сил равна нулю, и , (3-11) Р - суммарный импульс системы. Обобщая (3-11): , (3-12) - закон изменения импульса системы материальных точек. Оно определяется равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему. Если же эта равнодействующая = 0 (или на систему не действуют никакие внешние силы), то суммарный импульс системы остается постоянным. Это следствие уравнения (3-12) - закон сохранения импульса. Другим следствием рассмотренного закона изменения импульса служит теорема о движении центра масс: центр масс системы материальных точек под действием внешних сил движется как материальная точка суммарной массы, к которой приложены все внешние силы: МА= . (3-13) Примеры ЗСИ: отдача при стрельбе из огнестрельного оружия, реактивное движение.

Уравнением динамики вращательного движения твердого тела или уравнением моментов , (4-7) Левую часть уравнения можно представить по другому, т.к. по аналогии с правой частью величину [r_ia_im_i]=[ = - изменение момента импульса (радиус r_i внесен под знак дифференцирования, т.к. все точки вращаются по окружностям постоянного радиуса). Если обозначить [ r_i m_i v_i] = [r_i p_i] = L_i, a сумму = L, то уравнение (4-7) можно записать так: . (4-8)

L=[rmv]=[rmwr]=wmr ²=wI_i. Для твердого тела L=wI.(4-10).

Закон сохранения момента импульса. Если правая часть уравнения (4-8) оказывается равной нулю - суммарный момент сил равен нулю, то и L = const. Это случается, если система замкнута, т.е. внешние силы вообще не действуют, или если моменты внешних сил компенсируют друг друга, если внешние силы оказываются центральными - линии действия всех сил пересекаются в одной точке. Весьма интересным представляется случай, когда механический момент импульса при вращении тела имеет достаточно большую величину (по сравнению с моментом внешних сил). Наиболее ярким примером этого служит гироскоп - достаточно массивное тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии.

Определение момента силы. Для описания динамики вращательного движения твердого тела необходимо ввести понятие момента силы.При этом надо различать понятия момента силыотносительно точки и относительно оси.Если сила f приложена к материальной точке А,