Метод Фурье

Глава 7

§ 51. Метод разделения переменных для уравнения

свободных колебаний струны

Рассмотрим уравнение свободных колебаний струны

. (51.1)

Пусть заданы начальные условия

. (51.2)

Предположим, что струна конечной длины, то есть и концы струны закреплены неподвижно, то есть заданы граничные условия

. (51.3)

Будем искать частные решения задачи (51.1),(51.3) в следующем виде

. (51.4)

Подставим равенство (51.4) в уравнение (51.1)

Разделим обе части последнего равенства на , в итоге получим

. (51.5)

Здесь . Левая часть равенства (51.5) зависит только от , правая только от , так как равенство (51.5) определено для любых , то левая и правая части (51.5) не зависят ни от , ни от , то есть являются константой. Обозначим эту константу через – . Получим

Уравнение (51.1) распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения

; (51.6)

. (51.7)

Выясним, как преобразуются граничные условия (51.3). Используя (51.4), граничные условия (51.3) можно записать в виде .

Наша задача состоит в том, чтобы найти нетривиальные, то есть не равные тождественно нулю решения задачи (50.1)-(50.3). Так как , то . Поэтому существует , такое, что . Отсюда следовательно,

. (51.8)

Таким образом, граничные условия (50.3) можно записать в виде (51.8). Для нахождения функции мы получаем задачу (51.7)-(51.8). Это краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Выше было замечено, что . Следовательно, нужно найти нетривиальные решения задачи (51.7)-(51.8).

Определение. Те значения , при которых существует нетривиальное решение задачи (51.7)-(51.8), называются собственными значениями задачи (51.7)-(51.8). При этом соответствующие нетривиальные решения называются собственными функциями задачи (51.7)-(51.8).

Возможны следующие три случая: 1) ; 2) ; 3) .

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) Пусть . Выпишем характеристическое уравнение для уравнения (51.7)

,

то есть общее решение уравнения (51.7) имеет вид , где – постоянные. Подберем так, чтобы общее решение удовлетворяло граничным условиям (51.8). Получим

Найдем определитель этой системы

.

Следовательно, система имеет единственное решение , то есть в этом случае .

Таким образом, задача (51.7)-(51.8) не имеет собственных значений, удовлетворяющих условию .

2) Пусть . В этом случае (51.7) имеет вид , поэтому , где – произвольные постоянные. Подберем так, чтобы выполнялись граничные условия (51.8).

Получим следовательно, или То есть не является собственным значением задачи (51.7)-(51.8).

3) Пусть . Выпишем характеристическое уравнение

Общее решение (51.7) в этом случае можно записать в виде

.

Подберем так, чтобы выполнялось (51.8)

Разыскивается нетривиальное решение, поэтому , следовательно, или Так как , то . Если то . Выше было показано, что не является собственным значением, то есть . Следовательно, Поэтому числа являются собственными значениями задачи (51.7)-(51.8). При этом соответствующие собственные функции имеют вид

Таким образом мы показали, что числа есть собственные значения задачи (51.7)-(51.8), а функции есть собственные функции задачи (51.7)-(51.8), определенные с точностью до произвольной постоянной. Подставим найденные значения в уравнение (51.6). Получим уравнение . Найдем общее решение этого уравнения. Выпишем характеристическое уравнение . Общее решение этого уравнения можно записать в виде

. (51.9)

Здесь – произвольные константы. Рассмотрим функцию

.

По построению функция есть решение (51.6), – решение уравнения (51.7). Значит, является решением уравнения (51.1), кроме того, так как функции удовлетворяют граничным условиям (51.8) при всех , то функция удовлетворяет граничным условиям (51.3).

Рассмотрим функцию

. (51.10)

Эта функция также удовлетворяет (51.1) и граничным условиям (51.3), если ряд в правой части (51.10) равномерно сходится по всем , причем его можно два раза почленно дифференцировать по переменным и и получающиеся при этом ряды также равномерно сходятся.

Предположим, что это условие выполнено. Подберем постоянные так, чтобы функция, определяемая формулой (51.10), удовлетворяла бы начальным условиям (51.2). Подставим в равенство (51.10) значение :

.

В силу первого начального условия (51.2), получим

. (51.11)

Для того, чтобы воспользоваться вторым начальным условием, продифференцируем (51.10) по переменной . Получим

при : .

В силу второго начального условия получим

. (51.12)

В левых частях равенств (51.11) и (51.12) выписаны ряды Фурье для нечетных функций.

Равенства (51.11) и (51.12) представляют собой разложение функций и в ряды Фурье по синусам на отрезке . Поэтому коэффициенты могут быть найдены по формулам

. (51.13)

, то есть

. (51.14)

Таким образом, мы показали, что решение задачи (51.1)-(51.3) может быть записано в виде ряда (51.10), в котором коэффициенты находятся по формулам (51.13) и (51.14), если ряд (51.10) равномерно сходится и его можно почленно дифференцировать два раза по и два раза по .

Обоснование метода Фурье для уравнения колебаний струны

Некоторые свойства ортогональных систем

в гильбертовом пространстве

Определение. (скалярного произведения в гильбертовом пространстве). Будем говорить, что в линейном пространстве введено скалярное произведение, если любой паре элементов поставлено в соответствие комплексное число – скалярное произведение этих элементов, обладающее следующими свойствами:

а) , (в частности, – вещественное число);

б) ;

в) для ;

г) , причем только при .

Пусть – ортонормированная система элементов в гильбертовом пространстве со скалярным произведением и нормой . Поскольку система ортонормированна, то при и . Для любого элемента можно найти коэффициенты Фурье и (формальный) ряд Фурье .

Лемма (минимизирующее свойство коэффициентов Фурье). Пусть . Рассмотрим линейную комбинацию при произвольных и . Тогда

.

Доказательство. Из свойств скалярного произведения следует справедливость следующей цепочки равенств

Поэтому

Таким образом, левая часть последнего равенства принимает наименьшее значение при .

Следствие (неравенство Бесселя). В условиях леммы о минимизирующем свойстве коэффициентов Фурье справедливо неравенство .

Действительно, из равенства, установленного в лемме, при получаем для любого

.

Переходя к пределу при , получаем требуемое утверждение.

Если любой элемент однозначно представим в виде суммы , то соответствующая ортонормированная система называется полной. Полная ортонормированная система называется ортонормированным базисом в . В этом случае для любого элемента выполняется равенство

.

Последнее равенство называется равенством Парсеваля.

Лемма (о полноте). Следующие утверждения эквивалентны для ортонормированной системы в

1. является ортонормированным базисом в ;

2. выполняется равенство Парсеваля для любого ;

3. система линейно плотна в .

Доказательство. Для доказательства выведем вначале из 1 утверждение 2, затем из 2 утверждение 3, затем из 3 – утверждение 1.

) Пусть – ортонормированный базис в . Тогда произвольный представим в виде . После скалярного умножения последнего равенства на получаем .

Последнее доказывает равенство Парсеваля.

) Рассмотрим линейную комбинацию для произвольного . Как показано при доказательстве следствия (неравенство Бесселя) справедливо представление

.

Перейдем в последнем равенстве к пределу при , учитывая, что выполняется равенство Парсеваля. Получим

,

что доказывает линейную плотность системы в .

) Линейная плотность системы в означает, что для и произвольного существует линейная комбинация такая, что при . В силу леммы о минимизирующем свойстве коэффициентов Фурье и для . В силу произвольности последнее означает, что .

Легко показать, что полученное представление единственно. Лемма доказана.

Теорема. Пусть на отрезке дважды непрерывно дифференцируема, имеет кусочно-непрерывную третью производную и выполнены условия

и . (51.15)

Пусть один раз непрерывно дифференцируема и имеет кусочно-непрерывную вторую производную и выполнены условия

. (51.16)

Тогда функция , заданная формулой (51.10), дважды непрерывно дифференцируема по переменным , удовлетворяет (51.1), начальным условиям (51.2) и граничным условиям (51.3).

Доказательство. Докажем вначале следующее равенство

(51.17)

где

(51.17^/)

Докажем в (51.17) первое равенство (второе – аналогично). Воспользуемся формулой интегрирования по частям

Итак,

Рассмотрим ряды

. (51.18)

Покажем, что эти ряды сходятся.

Как известно, система является ортонормированной системой функций в . Числа и являются коэффициентами Фурье кусочно-непрерывных (а, следовательно, принадлежащих функций и ). Имеют место вытекающие из неравенства Бесселя оценки

Отсюда и из (51.18) следуют оценки

Последнее доказывает абсолютную сходимость рядов (51.18).

Воспользуемся теперь равенством (51.17) в правой части (51.10). Получим

. (51.19)

Покажем теперь, что ряд в правой части (51.19) сходится абсолютно и равномерно по всем и . Справедливо неравенство

Так как ряд сходится и члены этого ряда не зависят ни от , ни от , то ряд (51.19) сходится абсолютно и равномерно по всем .

Покажем, что ряд (51.19) можно почленно дифференцировать 2 раза по и по . Формально дифференцируя (51.19) 2 раза по переменной , получим

Докажем, что последний ряд абсолютно и равномерно по всем и сходится. Если это будет доказано, тем самым будет доказана возможность почленного дифференцирования ряда (51.19) два раза по переменной . Имеем

.

Выше было показано (см. (51.18)), что ряды сходятся и так как члены этих рядов не зависят от и , то последний ряд сходится абсолютно и равномерно. Аналогично доказывается, что ряд (51.19) можно почленно дифференцировать два раза по переменной . Таким образом, показано, что ряд (51.10) абсолютно и равномерно сходится по всем , . Его можно почленно дифференцировать два раза по и по .

Отсюда получаем, что функция , определенная рядом (51.10) является решением задачи (51.1)-(51.3), что и требовалось доказать.

Общая схема метода Фурье

Рассмотрим уравнение

. (51.20)

Предположим, что функции – непрерывны на и для любого справедливы неравенства

.

Зададим граничные условия следующего вида:

. (51.21)

Предполагается, что одновременно не обращаются в ноль, точнее, . Зададим начальные условия

(51.22)

Будем искать решение задачи (51.20)-(51.22) в виде

. (51.23)

Подставим представление (51.23) в уравнение (51.20)

.

Разделим обе части уравнения на :

. (51.24)

Так как левая часть равенства (51.24) зависит только от переменной , а правая – только от переменной , то равенство возможно лишь в случае, когда левая и правая часть не зависит ни от , ни от , то есть является константой. Обозначим эту константу через , тогда уравнение (51.20) распадается на два уравнения

, (51.25)

или

, (51.26)

. (51.27)

Выясним, как преобразуются граничные условия (51.21). Первое граничное условие (51.21) имеет вид . Так как мы ищем нетривиальное решение, то есть решение тождественно не равное нулю, то существует такое , что . При этом выполняются условия

; . (51.28)

Таким образом, мы получили, что функция должна являться решением задачи (51.27)-(51.28). Заметим, что эта задача всегда имеет тривиальное решение: . Нетривиальное решение эта задача имеет не при всех значениях . Значения , при которых эта задача имеет нетривиальное решение, называются собственными значениями задачи, а соответствующие функции называются собственными функциями задачи. Собственные функции определены с точностью до произвольной мультипликативной постоянной.

Лемма. Каждому собственному значению задачи (51.27) - (51.28) соответствует лишь одна линейно независимая собственная функция.

Доказательство. Пусть некоторому собственному значению соответствуют две линейно-независимые собственные функции, то есть такие и , для которых . Тогда в силу теоремы о структуре общего решения линейного дифференциального уравнения второго порядка получим, что общее решение уравнения (51.27) можно записать в виде

.

Мы получили, что все решения уравнения (51.27) должны удовлетворять граничным условиям (51.28), то есть функции и удовлетворяют этим условиям.

Мы получили противоречие. Действительно, в силу теоремы Коши для любого начального условия существует единственное решение уравнения (51.27). И мы может взять и так, что . То есть существует решение, которое не удовлетворяет первому граничному условию (51.28). Полученное противоречие доказывает утверждение.

Сформулируем без доказательства известные из функционального анализа свойства собственных функций и собственных значений задачи (51.27), (51.28)

1. Собственные функции дважды непрерывно дифференцируемы по .

2. Собственные значения вещественны.

3. Собственные значения простые.

4.Собственные значения, расположенные в порядке неубывания, образуют последовательность, расходящуюся к .

Выберем соответствующие собственные функции так, чтобы выполнялось условие

. (51.29)

Собственные функции, удовлетворяющие условиям (51.29) будем называть нормированными.

Лемма 2. Собственные функции задачи (51.27)-(51.28) соответствующие различным собственным значениям ортогональны с весом на отрезке , то есть если , то

. (51.30)

Доказательство. Пусть и – различные собственные значения и пусть и – соответствующие собственные функции. Тогда справедливы равенства

,

или

. (51.31)

Аналогично,

. (51.32)

Умножим обе части равенства (51.31) на , а обе части равенства (51.32) – на и почленно вычтем из первого равенства второе. Получим

(51.33)

Равенство (51.33) можно записать также в виде

Проинтегрируем последнее равенство по .

(51.34)

Покажем, что внеинтегральная подстановка в левой части равенства (51.34) равна нулю. Для этого воспользуемся граничными условиями (51.28). Из (51.28) получим, что . Так как и также удовлетворяют граничным условиям (51.28), то

и .

Следовательно, можем вычислить выражение:

.

Аналогично показывается, что . Таким образом, равенство (51.34) принимает следующий вид и, так как по условию , то , что и требовалось доказать.

Лемма 3. Если граничные условия имеют следующий вид

или

или

; , где ,

то все собственные значения задачи (51.27)-(51.28) неотрицательны.

Доказательство. Возьмем произвольное собственное значение и соответствующую собственную функцию , тогда эта функция является решением следующего уравнения

.

Умножим обе части последнего уравнения на функцию и проинтегрируем полученные равенства по отрезку . Получим

.

Так как по предположению собственные функции нормированы, то

.

Таким образом, получаем равенство

. (51.35)

Преобразуем первый интеграл с помощью формул интегрирования по частям. Возьмем в качестве

.

Получим

. (51.36)

Если граничные условия имеют вид, указанный выше, то непосредственно проверяется, что . Заметим, что так как , то . Аналогично .

Таким образом, правая часть равенства (51.35) меньше или равна нулю, значит, или , что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь (51.26) при . Получим . Найдем общее решение этого уравнения. Выпишем характеристическое уравнение . Выше доказано, что , то есть – мнимые числа. Отсюда общее решение имеет вид

. (51.37)

Рассмотрим функцию

. (51.38)

По построению эта функция является решением уравнения (51.20) и удовлетворяет граничным условиям (51.21).

Рассмотрим функцию

. (51.39)

Если ряд (51.39) равномерно сходится для любых и его можно два раза почленно дифференцировать по переменным и , то функция определенная (51.39), является решением уравнения (51.20) и удовлетворяет граничным условиям (51.21). Подберем теперь постоянные так, чтобы эта функция удовлетворяла и начальным условиям (51.22). Из (51.39) с учетом первого начального условия (51.22) получим

. (51.40)

Чтобы воспользоваться вторым начальным условием, продифференцируем почленно (51.39) по . Получим

.

Положим в последнем равенстве :

. (51.41)

Из этого равенства найдем . Умножим обе части (51.40) на и проинтегрируем по отрезку . Получим

.

Ранее было показано, что если , то интеграл

.

Таким образом получаем

.

Таким образом,

. (51.42)

Аналогично получаем

. (51.43)

Таким образом, мы показали, что если ряд (51.39) равномерно по и сходится, его можно два раза по , два раза по дифференцировать и коэффициенты ряда и определяются по формулам (51.42), (51.43), то функция, определенная формулой (51.39), является решением задачи (51.20)-(51.22).

§ 52. Вынужденные колебания струны, закрепленной

на концах

Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний струны

. (52.1)

Предположим, что струна имеет длину (то есть ) и закреплена на концах, то есть

. (52.2)

Пусть заданы начальные условия

, (52.3)

(заданы начальное положение и начальная скорость).

Будем искать решение задачи (52.1)-(52.3) в виде , где является решением следующей задачи

, (52.4)

, (52.5)

. (52.6)

Функция является решением следующей задачи

, (52.7)

, (52.8)

. (52.9)

Покажем, что если есть решение задачи (52.4)-(52.6), а – решение задачи (52.7)-(52.9), то функция есть решение (52.1)-(52.3). Проверим вначале выполнение граничных условий (в силу условий (52.5) и (52.8)).

Аналогично доказывается, что .

Проверим начальные условия:

.

Аналогично, . Сложим почленно (52.4) и (52.7), получим

,

то есть получаем

.

Таким образом, функция является решением задачи (52.1)-(52.3). Заметим, что функцию мы получили: задача (52.7)-(52.9) была решена ранее. Было показано, что ее решение имеет следующий вид:

,

где Таким образом, остается решить задачу (52.4)-(52.6). Будем искать решение этой задачи в следующем виде

. (52.10)

Будем предполагать, что ряд (52.10) равномерно сходится и его можно почленно дифференцировать два раза по и два раза по , тогда

Подставляя эти равенства в (52.4), получим

. (52.11)

В дальнейшем для сокращения записи будем применять обозначения . Из (52.10) следует, что функция удовлетворяет граничному условию (52.5). Выясним, каким условиям должны удовлетворять функции , чтобы функция, определенная равенством (52.10), удовлетворяла начальным условиям (52.6). Из первого начального условия получим, что для любого справедливо равенство , откуда . Из второго начального условия получим, что для любого справедливо равенство , откуда . Таким образом, функции должны удовлетворять следующим начальным условиям:

и . (52.12)

Разложим функцию ряд Фурье по синусам на , как функцию переменной . Получим

, (52.13)

где

. (52.14)

Подставим (52.13) в правую часть (52.11). Получим

.

Это равенство справедливо для любых . Отсюда следует, что

. (52.15)

Таким образом, функции удовлетворяют уравнениям (52.15) и начальным условиям (52.12), то есть является решениями задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Решение этой задачи можно записать в виде

. (52.16)

Подставляя представление (52.14) в равенство (52.16), получим

. (52.17)

Таким образом, задача (52.4)-(52.6) решена. Ее решение задается формулой (52.10), в которой функции определены формулой (52.17).

Таким образом, исходная задача исходная задача (52.1)-(52.3) решена. Ее решение имеет вид , где – решение (52.4)-(52.6), а – решение (52.7)-(52.9).

§ 53. Вынужденные колебания струны

с подвижными концами

Рассмотрим задачу

; (53.1)

; (53.2)

. (53.3)

Будем искать решение этой задачи в виде

. (53.4)

где – неизвестная функция, а – известная функция следующего вида

. (53.5)

Из (53.5) следует

.

Выясним, каким граничным условиям удовлетворяет функция . Имеем

.

Аналогично: , то есть функция удовлетворяет следующим граничным условиям

. (53.6)

Выясним, каким начальным условиям удовлетворяет функция :

обозначим

.

Аналогично, , обозначим .

Функция удовлетворяет следующим начальным условиям

. (53.7)

Выясним, решением какого уравнения является функция . Из (53.4) получим . Аналогично, . Подставив эти два равенства в уравнение (53.1), получим

,

или

, (53.8)

где

.

Таким образом, функция является решением (53.8), удовлетворяет граничным условиям (53.6) и начальным условиям (53.7). Эта задача является задачей о вынужденных колебаниях струны с закрепленными концами. Такая задача была решена ранее, то есть функция может быть найдена. Подставляя эту функцию в (53.4), получим функцию , которая является решением исходной задачи (53.1)-(53.3).

§ 54. Решение первой краевой задачи для уравнения

теплопроводности

В пространстве рассмотрим прямоугольник . Рассмотрим следующую задачу. Требуется найти функцию , которая внутри прямоугольника удовлетворяет уравнению

. (54.1)

Функция