![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Глава 7
§ 51. Метод разделения переменных для уравнения
свободных колебаний струны
Рассмотрим уравнение свободных колебаний струны
. (51.1)
Пусть заданы начальные условия
. (51.2)
Предположим, что струна конечной длины, то есть и концы струны закреплены неподвижно, то есть заданы граничные условия
. (51.3)
Будем искать частные решения задачи (51.1),(51.3) в следующем виде
. (51.4)
Подставим равенство (51.4) в уравнение (51.1)
Разделим обе части последнего равенства на , в итоге получим
. (51.5)
Здесь . Левая часть равенства (51.5) зависит только от
, правая только от
, так как равенство (51.5) определено для любых
, то левая и правая части (51.5) не зависят ни от
, ни от
, то есть являются константой. Обозначим эту константу через –
. Получим
Уравнение (51.1) распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения
; (51.6)
. (51.7)
Выясним, как преобразуются граничные условия (51.3). Используя (51.4), граничные условия (51.3) можно записать в виде .
Наша задача состоит в том, чтобы найти нетривиальные, то есть не равные тождественно нулю решения задачи (50.1)-(50.3). Так как , то
. Поэтому существует
, такое, что
. Отсюда
следовательно,
. (51.8)
Таким образом, граничные условия (50.3) можно записать в виде (51.8). Для нахождения функции мы получаем задачу (51.7)-(51.8). Это краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Выше было замечено, что . Следовательно, нужно найти нетривиальные решения задачи (51.7)-(51.8).
Определение. Те значения , при которых существует нетривиальное решение задачи (51.7)-(51.8), называются собственными значениями задачи (51.7)-(51.8). При этом соответствующие нетривиальные решения называются собственными функциями задачи (51.7)-(51.8).
Возможны следующие три случая: 1) ; 2)
; 3)
.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1) Пусть . Выпишем характеристическое уравнение для уравнения (51.7)
,
то есть общее решение уравнения (51.7) имеет вид
, где
– постоянные. Подберем
так, чтобы общее решение удовлетворяло граничным условиям (51.8). Получим
Найдем определитель этой системы
.
Следовательно, система имеет единственное решение
, то есть в этом случае
.
Таким образом, задача (51.7)-(51.8) не имеет собственных значений, удовлетворяющих условию .
2) Пусть . В этом случае (51.7) имеет вид
, поэтому
, где
– произвольные постоянные. Подберем
так, чтобы выполнялись граничные условия (51.8).
Получим следовательно,
или
То есть
не является собственным значением задачи (51.7)-(51.8).
3) Пусть . Выпишем характеристическое уравнение
Общее решение (51.7) в этом случае можно записать в виде
.
Подберем так, чтобы выполнялось (51.8)
Разыскивается нетривиальное решение, поэтому , следовательно,
или
Так как
, то
. Если
то
. Выше было показано, что
не является собственным значением, то есть
. Следовательно,
Поэтому числа
являются собственными значениями задачи (51.7)-(51.8). При этом соответствующие собственные функции имеют вид
Таким образом мы показали, что числа
есть собственные значения задачи (51.7)-(51.8), а функции
есть собственные функции задачи (51.7)-(51.8), определенные с точностью до произвольной постоянной. Подставим найденные значения
в уравнение (51.6). Получим уравнение
. Найдем общее решение этого уравнения. Выпишем характеристическое уравнение
. Общее решение этого уравнения можно записать в виде
. (51.9)
Здесь – произвольные константы. Рассмотрим функцию
.
По построению функция есть решение (51.6),
– решение уравнения (51.7). Значит,
является решением уравнения (51.1), кроме того, так как функции
удовлетворяют граничным условиям (51.8) при всех
, то функция
удовлетворяет граничным условиям (51.3).
Рассмотрим функцию
. (51.10)
Эта функция также удовлетворяет (51.1) и граничным условиям (51.3), если ряд в правой части (51.10) равномерно сходится по всем , причем его можно два раза почленно дифференцировать по переменным
и
и получающиеся при этом ряды также равномерно сходятся.
Предположим, что это условие выполнено. Подберем постоянные так, чтобы функция, определяемая формулой (51.10), удовлетворяла бы начальным условиям (51.2). Подставим в равенство (51.10) значение
:
.
В силу первого начального условия (51.2), получим
. (51.11)
Для того, чтобы воспользоваться вторым начальным условием, продифференцируем (51.10) по переменной . Получим
при :
.
В силу второго начального условия получим
. (51.12)
В левых частях равенств (51.11) и (51.12) выписаны ряды Фурье для нечетных функций.
Равенства (51.11) и (51.12) представляют собой разложение функций и
в ряды Фурье по синусам на отрезке
. Поэтому коэффициенты
могут быть найдены по формулам
. (51.13)
, то есть
. (51.14)
Таким образом, мы показали, что решение задачи (51.1)-(51.3) может быть записано в виде ряда (51.10), в котором коэффициенты находятся по формулам (51.13) и (51.14), если ряд (51.10) равномерно сходится и его можно почленно дифференцировать два раза по
и два раза по
.
Обоснование метода Фурье для уравнения колебаний струны
Некоторые свойства ортогональных систем
в гильбертовом пространстве
Определение. (скалярного произведения в гильбертовом пространстве). Будем говорить, что в линейном пространстве введено скалярное произведение, если любой паре элементов
поставлено в соответствие комплексное число
– скалярное произведение этих элементов, обладающее следующими свойствами:
а) , (в частности,
– вещественное число);
б) ;
в) для ;
г) , причем
только при
.
Пусть – ортонормированная система элементов в гильбертовом пространстве
со скалярным произведением
и нормой
. Поскольку система ортонормированна, то
при
и
. Для любого элемента
можно найти коэффициенты Фурье
и (формальный) ряд Фурье
.
Лемма (минимизирующее свойство коэффициентов Фурье). Пусть . Рассмотрим линейную комбинацию
при произвольных
и
. Тогда
.
Доказательство. Из свойств скалярного произведения следует справедливость следующей цепочки равенств
Поэтому
Таким образом, левая часть последнего равенства принимает наименьшее значение при
.
Следствие (неравенство Бесселя). В условиях леммы о минимизирующем свойстве коэффициентов Фурье справедливо неравенство .
Действительно, из равенства, установленного в лемме, при получаем для любого
.
Переходя к пределу при , получаем требуемое утверждение.
Если любой элемент однозначно представим в виде суммы
, то соответствующая ортонормированная система
называется полной. Полная ортонормированная система называется ортонормированным базисом в
. В этом случае для любого элемента
выполняется равенство
.
Последнее равенство называется равенством Парсеваля.
Лемма (о полноте). Следующие утверждения эквивалентны для ортонормированной системы в
1. является ортонормированным базисом в
;
2. выполняется равенство Парсеваля для любого ;
3. система линейно плотна в
.
Доказательство. Для доказательства выведем вначале из 1 утверждение 2, затем из 2 утверждение 3, затем из 3 – утверждение 1.
) Пусть
– ортонормированный базис в
. Тогда произвольный
представим в виде
. После скалярного умножения последнего равенства на
получаем
.
Последнее доказывает равенство Парсеваля.
) Рассмотрим линейную комбинацию
для произвольного
. Как показано при доказательстве следствия (неравенство Бесселя) справедливо представление
.
Перейдем в последнем равенстве к пределу при , учитывая, что выполняется равенство Парсеваля. Получим
,
что доказывает линейную плотность системы в
.
) Линейная плотность системы
в
означает, что для
и произвольного
существует линейная комбинация
такая, что
при
. В силу леммы о минимизирующем свойстве коэффициентов Фурье и для
. В силу произвольности
последнее означает, что
.
Легко показать, что полученное представление единственно. Лемма доказана.
Теорема. Пусть на отрезке
дважды непрерывно дифференцируема, имеет кусочно-непрерывную третью производную и выполнены условия
и
. (51.15)
Пусть один раз непрерывно дифференцируема и имеет кусочно-непрерывную вторую производную и выполнены условия
. (51.16)
Тогда функция , заданная формулой (51.10), дважды непрерывно дифференцируема по переменным
, удовлетворяет (51.1), начальным условиям (51.2) и граничным условиям (51.3).
Доказательство. Докажем вначале следующее равенство
(51.17)
где
(51.17/)
Докажем в (51.17) первое равенство (второе – аналогично). Воспользуемся формулой интегрирования по частям
Итак,
Рассмотрим ряды
. (51.18)
Покажем, что эти ряды сходятся.
Как известно, система является ортонормированной системой функций в
. Числа
и
являются коэффициентами Фурье кусочно-непрерывных (а, следовательно, принадлежащих
функций
и
). Имеют место вытекающие из неравенства Бесселя оценки
Отсюда и из (51.18) следуют оценки
Последнее доказывает абсолютную сходимость рядов (51.18).
Воспользуемся теперь равенством (51.17) в правой части (51.10). Получим
. (51.19)
Покажем теперь, что ряд в правой части (51.19) сходится абсолютно и равномерно по всем и
. Справедливо неравенство
Так как ряд
сходится и члены этого ряда не зависят ни от
, ни от
, то ряд (51.19) сходится абсолютно и равномерно по всем
.
Покажем, что ряд (51.19) можно почленно дифференцировать 2 раза по и по
. Формально дифференцируя (51.19) 2 раза по переменной
, получим
Докажем, что последний ряд абсолютно и равномерно по всем и
сходится. Если это будет доказано, тем самым будет доказана возможность почленного дифференцирования ряда (51.19) два раза по переменной
. Имеем
.
Выше было показано (см. (51.18)), что ряды сходятся и так как члены этих рядов не зависят от
и
, то последний ряд сходится абсолютно и равномерно. Аналогично доказывается, что ряд (51.19) можно почленно дифференцировать два раза по переменной
. Таким образом, показано, что ряд (51.10) абсолютно и равномерно сходится по всем
,
. Его можно почленно дифференцировать два раза по
и по
.
Отсюда получаем, что функция , определенная рядом (51.10) является решением задачи (51.1)-(51.3), что и требовалось доказать.
Общая схема метода Фурье
Рассмотрим уравнение
. (51.20)
Предположим, что функции – непрерывны на
и для любого
справедливы неравенства
.
Зададим граничные условия следующего вида:
. (51.21)
Предполагается, что одновременно не обращаются в ноль, точнее,
. Зададим начальные условия
(51.22)
Будем искать решение задачи (51.20)-(51.22) в виде
. (51.23)
Подставим представление (51.23) в уравнение (51.20)
.
Разделим обе части уравнения на :
. (51.24)
Так как левая часть равенства (51.24) зависит только от переменной , а правая – только от переменной
, то равенство возможно лишь в случае, когда левая и правая часть не зависит ни от
, ни от
, то есть является константой. Обозначим эту константу через
, тогда уравнение (51.20) распадается на два уравнения
, (51.25)
или
, (51.26)
. (51.27)
Выясним, как преобразуются граничные условия (51.21). Первое граничное условие (51.21) имеет вид
. Так как мы ищем нетривиальное решение, то есть решение тождественно не равное нулю, то существует такое
, что
. При этом выполняются условия
;
. (51.28)
Таким образом, мы получили, что функция должна являться решением задачи (51.27)-(51.28). Заметим, что эта задача всегда имеет тривиальное решение:
. Нетривиальное решение эта задача имеет не при всех значениях
. Значения
, при которых эта задача имеет нетривиальное решение, называются собственными значениями задачи, а соответствующие функции называются собственными функциями задачи. Собственные функции определены с точностью до произвольной мультипликативной постоянной.
Лемма. Каждому собственному значению задачи (51.27) - (51.28) соответствует лишь одна линейно независимая собственная функция.
Доказательство. Пусть некоторому собственному значению соответствуют две линейно-независимые собственные функции, то есть такие
и
, для которых
. Тогда в силу теоремы о структуре общего решения линейного дифференциального уравнения второго порядка получим, что общее решение уравнения (51.27) можно записать в виде
.
Мы получили, что все решения уравнения (51.27) должны удовлетворять граничным условиям (51.28), то есть функции и
удовлетворяют этим условиям.
Мы получили противоречие. Действительно, в силу теоремы Коши для любого начального условия существует единственное решение уравнения (51.27). И мы может взять
и
так, что
. То есть существует решение, которое не удовлетворяет первому граничному условию (51.28). Полученное противоречие доказывает утверждение.
Сформулируем без доказательства известные из функционального анализа свойства собственных функций и собственных значений задачи (51.27), (51.28)
1. Собственные функции дважды непрерывно дифференцируемы по
.
2. Собственные значения вещественны.
3. Собственные значения простые.
4.Собственные значения, расположенные в порядке неубывания, образуют последовательность, расходящуюся к .
Выберем соответствующие собственные функции так, чтобы выполнялось условие
. (51.29)
Собственные функции, удовлетворяющие условиям (51.29) будем называть нормированными.
Лемма 2. Собственные функции задачи (51.27)-(51.28) соответствующие различным собственным значениям ортогональны с весом на отрезке
, то есть если
, то
. (51.30)
Доказательство. Пусть и
– различные собственные значения и пусть
и
– соответствующие собственные функции. Тогда справедливы равенства
,
или
. (51.31)
Аналогично,
. (51.32)
Умножим обе части равенства (51.31) на , а обе части равенства (51.32) – на
и почленно вычтем из первого равенства второе. Получим
(51.33)
Равенство (51.33) можно записать также в виде
Проинтегрируем последнее равенство по
.
(51.34)
Покажем, что внеинтегральная подстановка в левой части равенства (51.34) равна нулю. Для этого воспользуемся граничными условиями (51.28). Из (51.28) получим, что . Так как
и
также удовлетворяют граничным условиям (51.28), то
и
.
Следовательно, можем вычислить выражение:
.
Аналогично показывается, что . Таким образом, равенство (51.34) принимает следующий вид
и, так как по условию
, то
, что и требовалось доказать.
Лемма 3. Если граничные условия имеют следующий вид
или
или
;
, где
,
то все собственные значения задачи (51.27)-(51.28) неотрицательны.
Доказательство. Возьмем произвольное собственное значение и соответствующую собственную функцию
, тогда эта функция является решением следующего уравнения
.
Умножим обе части последнего уравнения на функцию и проинтегрируем полученные равенства по отрезку
. Получим
.
Так как по предположению собственные функции нормированы, то
.
Таким образом, получаем равенство
. (51.35)
Преобразуем первый интеграл с помощью формул интегрирования по частям. Возьмем в качестве
.
Получим
. (51.36)
Если граничные условия имеют вид, указанный выше, то непосредственно проверяется, что . Заметим, что так как
, то
. Аналогично
.
Таким образом, правая часть равенства (51.35) меньше или равна нулю, значит, или
, что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь (51.26) при . Получим
. Найдем общее решение этого уравнения. Выпишем характеристическое уравнение
. Выше доказано, что
, то есть
– мнимые числа. Отсюда общее решение имеет вид
. (51.37)
Рассмотрим функцию
. (51.38)
По построению эта функция является решением уравнения (51.20) и удовлетворяет граничным условиям (51.21).
Рассмотрим функцию
. (51.39)
Если ряд (51.39) равномерно сходится для любых и его можно два раза почленно дифференцировать по переменным
и
, то функция
определенная (51.39), является решением уравнения (51.20) и удовлетворяет граничным условиям (51.21). Подберем теперь постоянные
так, чтобы эта функция удовлетворяла и начальным условиям (51.22). Из (51.39) с учетом первого начального условия (51.22) получим
. (51.40)
Чтобы воспользоваться вторым начальным условием, продифференцируем почленно (51.39) по . Получим
.
Положим в последнем равенстве :
. (51.41)
Из этого равенства найдем . Умножим обе части (51.40) на
и проинтегрируем по отрезку
. Получим
.
Ранее было показано, что если , то интеграл
.
Таким образом получаем
.
Таким образом,
. (51.42)
Аналогично получаем
. (51.43)
Таким образом, мы показали, что если ряд (51.39) равномерно по и
сходится, его можно два раза по
, два раза по
дифференцировать и коэффициенты ряда
и
определяются по формулам (51.42), (51.43), то функция, определенная формулой (51.39), является решением задачи (51.20)-(51.22).
§ 52. Вынужденные колебания струны, закрепленной
на концах
Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний струны
. (52.1)
Предположим, что струна имеет длину (то есть
) и закреплена на концах, то есть
. (52.2)
Пусть заданы начальные условия
, (52.3)
(заданы начальное положение и начальная скорость).
Будем искать решение задачи (52.1)-(52.3) в виде
, где
является решением следующей задачи
, (52.4)
, (52.5)
. (52.6)
Функция является решением следующей задачи
, (52.7)
, (52.8)
. (52.9)
Покажем, что если есть решение задачи (52.4)-(52.6), а
– решение задачи (52.7)-(52.9), то функция
есть решение (52.1)-(52.3). Проверим вначале выполнение граничных условий
(в силу условий (52.5) и (52.8)).
Аналогично доказывается, что .
Проверим начальные условия:
.
Аналогично, . Сложим почленно (52.4) и (52.7), получим
,
то есть получаем
.
Таким образом, функция является решением задачи (52.1)-(52.3). Заметим, что функцию
мы получили: задача (52.7)-(52.9) была решена ранее. Было показано, что ее решение имеет следующий вид:
,
где Таким образом, остается решить задачу (52.4)-(52.6). Будем искать решение этой задачи в следующем виде
. (52.10)
Будем предполагать, что ряд (52.10) равномерно сходится и его можно почленно дифференцировать два раза по и два раза по
, тогда
Подставляя эти равенства в (52.4), получим
. (52.11)
В дальнейшем для сокращения записи будем применять обозначения . Из (52.10) следует, что функция
удовлетворяет граничному условию (52.5). Выясним, каким условиям должны удовлетворять функции
, чтобы функция, определенная равенством (52.10), удовлетворяла начальным условиям (52.6). Из первого начального условия получим, что для любого
справедливо равенство
, откуда
. Из второго начального условия получим, что для любого
справедливо равенство
, откуда
. Таким образом, функции
должны удовлетворять следующим начальным условиям:
и
. (52.12)
Разложим функцию ряд Фурье по синусам на
, как функцию переменной
. Получим
, (52.13)
где
. (52.14)
Подставим (52.13) в правую часть (52.11). Получим
.
Это равенство справедливо для любых . Отсюда следует, что
. (52.15)
Таким образом, функции удовлетворяют уравнениям (52.15) и начальным условиям (52.12), то есть
является решениями задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Решение этой задачи можно записать в виде
. (52.16)
Подставляя представление (52.14) в равенство (52.16), получим
. (52.17)
Таким образом, задача (52.4)-(52.6) решена. Ее решение задается формулой (52.10), в которой функции определены формулой (52.17).
Таким образом, исходная задача исходная задача (52.1)-(52.3) решена. Ее решение имеет вид , где
– решение (52.4)-(52.6), а
– решение (52.7)-(52.9).
§ 53. Вынужденные колебания струны
с подвижными концами
Рассмотрим задачу
; (53.1)
; (53.2)
. (53.3)
Будем искать решение этой задачи в виде
. (53.4)
где – неизвестная функция, а
– известная функция следующего вида
. (53.5)
Из (53.5) следует
.
Выясним, каким граничным условиям удовлетворяет функция . Имеем
.
Аналогично: , то есть функция
удовлетворяет следующим граничным условиям
. (53.6)
Выясним, каким начальным условиям удовлетворяет функция :
обозначим
.
Аналогично, , обозначим
.
Функция удовлетворяет следующим начальным условиям
. (53.7)
Выясним, решением какого уравнения является функция . Из (53.4) получим
. Аналогично,
. Подставив эти два равенства в уравнение (53.1), получим
,
или
, (53.8)
где
.
Таким образом, функция является решением (53.8), удовлетворяет граничным условиям (53.6) и начальным условиям (53.7). Эта задача является задачей о вынужденных колебаниях струны с закрепленными концами. Такая задача была решена ранее, то есть функция
может быть найдена. Подставляя эту функцию в (53.4), получим функцию
, которая является решением исходной задачи (53.1)-(53.3).
§ 54. Решение первой краевой задачи для уравнения
теплопроводности
В пространстве рассмотрим прямоугольник
. Рассмотрим следующую задачу. Требуется найти функцию
, которая внутри прямоугольника удовлетворяет уравнению
. (54.1)
Функция
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 458 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!