Аналитическое выравнивание временных рядов. Оценка параметров уравнения тренда

Аналитическое выравнивание временного ряда – способ моделирования тенденции временного ряда: построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда.

14. Коэффициент детерминации (r_xy²) – характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую дисперсией, в общей дисперсии результативного признака. Чем ближе r_xy² к 1, тем качественнее регрессионная модель, то есть исходная модель хорошо аппроксимирует исходные данные.

20. Регрессия может дать хороший результат при модели­ровании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Поведение отдельных экономи­ческих переменных контролировать нельзя, т. е. не удается обес­печить равенство всех прочих условий для оценки влияния одно­го исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т. е. пост­роить уравнение множественной регрессии: y=a+b₁x₁+b₂+…+b_px_p+e; Такого рода уравнение может использоваться при изучении потребления. Тогда коэффициенты bj — частные производные потребления у по соответствующим факторам x_i: , в предположении, что все остальные х_i постоянны. Совре­менная потребительская функция чаще всего рассматривается как модель вида: C=j(y,P,M,Z), где С — потребление; у — доход; Р — цена, индекс стоимости жизни; М — наличные деньги; Z — ликвидные активы. При этом .. Основная цель множественной регрессии — построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Спецификация модели включает в себя два круга вопросов: отбор фак­торов и выбор вида уравнения регрессии. Требования к факторам.1 Они должны быть количественно измеримы. Если необхо­димо включить в модель качественный фактор, не имеющий ко­личественного измерения, то ему нужно придать количествен­ную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов) 2.Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи. Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, когда R_yx1 R_x1x2.Для зависимости y=a+b₁x₁+b₂+…+b_px_p+e может привести к нежелательным последствиям, повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии. Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются не интерпретированными.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором р-факторов, то для нее рассчитывается показа­тель детерминации R², который фиксирует долю объясненной ва­риации результативного признака за счет рассматриваемых в ре­грессии р-факторов. Влияние других не учтенных в модели фак­торов оценивается как 1 - R² с соответствующей остаточной дис­персией S².При дополнительном включении в регрессию (р + 1) фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться: . е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменных явно коллинеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимости, если . Ес­ли факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочте­ние при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно

21.. Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остатков e_i одинакова для каждого значения х. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции. а — дисперсия остатков растет по мере увеличения х; б — дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной х и уменьшается при минимальных и максимальных значениях х; в — максимальная дисперсия остатков при

малых значениях х и дисперсия остатков однородна по мере увеличения значений х. Графики гомо- и гетеро-ти.

Оценка отсутствия автокорреляции остатков (т.е. значения остатков e_i распределены независимо друг от друга). Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Коэффициент корреляции между e_i и e_j, где e_i — остатки текущих наблюдений, e_j — остатки предыдущих наблю­дений, может быть определен по обычной формуле линейного коэффициента корреляции . Если этот коэффициент окажется существенно отличным от ну­ля, то остатки автокоррелированы и функция плотности вероят­ности F(e) зависит j-й точки наблюдения и от распределения значений остатков в других точках наблюдения. Для регрессионных моделей по статической информации ав­токорреляция остатков может быть подсчитана, если наблюдения упорядочены по фактору х. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечива­ет состоятельность и эффективность оценок коэффициентов ре­грессии. Особенно актуально соблюдение данной предпосылки МНК при построении регрессионных моделей по рядам динами­ки, где ввиду наличия тенденции последующие уровни динами­ческого ряда, как правило, зависят от своих предыдущих уров­ней.

22. Проблемы коллинеарности и мультиколлинеарности Коллинеарность -это Два вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Наличие мультиколлинеарности факторов может озна­чать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полно­стью независимой, и нельзя оценить воздействие каждого факто­ра в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежела­тельно в силу следующих последствий: 1.затрудняется интерпретация параметров множественной ре­грессии как характеристик действия факторов в «чистом» ви­де, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;2оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стан­дартные ошибки и меняются с изменением объема наблюде­ний.

23.Виды нелинейных зависимостей Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они

выражаются с помощью соответ нелинейных функций: например,

равносторонней ги

, параболы второй степени

и д.р.

Различают два класса нелинейных регрессий:

• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ

объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым па;

• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объ переменным

могут служить следующие функции:

• полиномы разных степеней

• равносторонняя гипербола

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам от функции:

• степенная

• показательная

• экспоненциальная

24. подходы к линеаризации регрессионных моделей В эконометрике для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода:

линеаризация моделей, не линейных как по переменным, так и по параметрам, когда с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными;

методы нелинейной оптимизации на основе исходных данных (когда не удается подобрать соответствующее линеаризующее преобразование).

Пример Если необходимо оценить параметры не линейной по переменным регрессионной модели, то, вводя новые переменные, получим линейную модель:, параметры которой находятся обычным методом наименьших квадратов.

Нелинейность моделей по параметрам является более сложной проблемой. Непосредственное применение метода наименьших квадратов для их оценивания невозможно. К числу таких моделей относятся:мультипликативная (степенная) модель

экспоненциальная и другие.Эти модели могут быть приведены к линейным путем логарифмирования обеих частей уравнений. Тогда общий вид мультипликативной модели станет следующим:

К полученной модели уже можно применить МНК

25. Производственый функции и их анализ Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов.

Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология – новая производительная функция.

С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение – не у всех будут места).

2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

В наиболее общем виде производственная функция выглядит следующим образом: где Q- объем выпуска;

K- капитал (оборудование);

М- сырье, материалы;

Т – технология;

N – предпринимательские способности.

26.Понятие регрессионных моделей с неоднородными данными Линейные регрессионные модели с переменной структурой рассматриваются в ситуациях, когда в ходе сбора исходных статистических данных Вп = {(X1,y1),(X2,y2),..., (Хп,уп)} имеет место косвенное воздействие (во времени и/или пространстве) некоторых качественных факторов (сопутствующих переменных), в результате которого происходят скачкообразные сдвиги в структуре анализируемых линейных связей (т.е. в значениях коэффициентов регрессии q0,q1,...,qр). Если же эти данные объединяют в себе наблюдения, зарегистрированные при различных условиях (значениях сопутствующих переменных Z), то они, вообще говоря, могут быть неоднородными.

27.Введение в регрессионную модель фиктивных переменных Термин “фиктивные переменные” используется как противоположность “значащим” переменным, показывающим уровень количественного показателя, принимающего значения из непрерывного интервала. Как правило, фиктивная переменная — это индикаторная переменная, отражающая качественную характеристику. Чаще всего применяются бинарные фиктивные переменные, принимающие два значения, 0 и 1, в зависимости от определенного условия. Например, в результате опроса группы людей 0 может означать, что опрашиваемый - мужчина, а 1 - женщина.

К фиктивным переменным иногда относят регрессор, состоящий из одних единиц (т.е. константу, свободный член), а также временной тренд.

Фиктивные переменные, будучи экзогенными, не создают каких-либо трудностей при применении ОМНК. Фиктивные переменные являются эффективным инструментом построения регрессионных моделей и проверки гипотез.

Иногда возникает необходимость включения в модель фактор, имеющий два или более качественных уровней. Это могут быть разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону. Для того чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т. е. качественные переменные необходимо преобразовать в количественные. Такого вида сконструированные переменные в эконометрике принято называть фиктивными переменными.

28. Специфика временных рядов Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Применение традиционных методов корреляционно-регрессионного анализа для изучения причинно следственных зависимостей переменных, представленных в форме временных рядов, может привести к ряду серьезных проблем, возникающих как на этапе построения, так и на этапе анализа эконометрических моделей. В первую очередь эти проблемы связаны со спецификой временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании.

Предполагается, что в общем случае каждый уровень временного ряда содержит три основные компоненты: тенденцию (Т), циклические или сезонные колебания (S) и случайную компоненту (E).

Если временные ряды содержат сезонные или циклические колебания, то перед проведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней каждого ряда, поскольку ее наличие приведет к завышению истинных показателей силы и связи

изучаемых временных рядов в случае, если оба ряда содержат циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если сезонные или циклические колебания содержит только один из рядов или периодичность колебаний в рассматриваемых временных рядах различна.

Устранение сезонной компоненты из уровней временных рядов можно проводить в соответствии с методикой построения аддитивной и мультипликативной моделей. Если рассматриваемые временные ряды имеют тенденцию, коэффициент корреляции по абсолютной величине будет высоким, что в данном случае есть результат того, что х и у зависят от времени, или содержат тенденцию. Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так называемой ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряде.

Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости между значениями остатков et за текущий и предыдущие моменты времени, которая получила название «автокорреляция в остатках».

29. Понятие стационарности временного ряда. Тренд (от англ. Trend — тенденция) — долговременная тенденция изменения исследуемого временного ряда Вр ряд - упорядоченн последовательность показателей, кот характеризуют развитие явления во времени. Стационарн в.р. – отражение некот случайн процесса, сам процесс – в равновесии относит некоего постоянн средн уровня, его хар-ки не завис от момента времени. Стационарн процесс свободен от периодич Стационарные ряды (в анализе временных рядов). В анализе временных рядов стационарные ряды имеют постоянные по времени среднее, дисперсию и автокорреляции (т.е. сезонные зависимости удаляются с помощью разностей).