элементов

Под смешанным соединением понимают сочетание последовательных и параллельных соединений цепи (рис.5).

Рис.5 – Смешанное соединение элементов

Предположим, что задано напряжение на зажимах цепи, и требуется отыскать все токи. Воспользуемся комплексным методом. 2 и 3 участки соединены параллельно, следовательно, необходимо сложить их комплексные проводимости Y₁ и Y₂ для получения комплексной проводимости Y₂₃ обоих, параллельно соединенных участков.

Проводимость участка 23:

Y₂₃ = Y₂ + Y₃

Проводимость участка 2:

Y₂ = =

Проводимость участка 3:

Y₃ = =

Первый участок соединен последовательно со взятыми вместе вторым и третьим участками.

Следовательно, комплексное сопротивление всей цепи равняется:

z = z₁ +z₂₃ ,

где z₂₃ =

Комплексный ток в неразветвленной части цепи:

I₁ =

Комплексное напряжение на 2 и 3 участках:

U₂₃ = I₁·z₂₃

Комплексные токи на этих участках:

I₂ = U₂₃·Y₂

I₃ = U₂₃·Y₃

Формулы для электрических цепей синусоидального тока с различным сочетанием элементов цепи приведены в таблице 1.

Элементы цепи	Сопротивление	Комплексное сопротивление
Резистор	R	z = R
Катушка индуктивности	XL=ωL	z = jXL = jωL
Конденсатор	XC=1/ωC	z = -jXC = -j(1/ωC)
Резистор и катушка индуктивности	Z= R2+	z = R + jXL
Резистор и конденсатор	Z= 2-	z = R - jXC
Резистор, катушка индуктивности и конденсатор	Z= 2+(XL-XC)2	z = R + j(XL-Xc)

Таблица 1

Дана схема (рис.6). Определить величину сопротивления z в цепи, если известны сопротивления z₁ = 10 Ом, z₂ = 10 Ом и ёмкость С = 636 мкФ.

Рис.6 – Схема смешанного соединения цепи

Дано: z1 = 10 Ом   z2 = 10 Ом   С = 636 мкФ

Решение:   Имеем последовательно-параллельное соединение объектов.   Проводимость одной ветви:   Y1 = = = 0,1 ()   Проводимость второй ветви:   Y2 = jωC   Подставляем значения:   Y2 = j3,14·636·10-6 = j2·10-3 ()     Проводимость обоих ветвей:   Y23 = 0,1 + j2·10-3 ()     Найдём соответствующее сопротивление:     z12 = = =     = = 0,025·106 – j0,5·103 =     = 25·103 – j0,5·103 (Ом)     Величина комплексного сопротивления:     z = z1 + z23 = 10+25·103 – j0,5·103 = 25,01·10-3 – j0,5·103   = 25010– j500 (Ом)     Ответ: 1) Сопротивление z в цепи равно 25010– j500 (Ом).

Найти: 1) z -?

Дана схема (рис.7). Определить комплексное сопротивление z в цепи, если известны сопротивления z₁ = 1 Ом, z₂ = 2 Ом, z₃ = 30 Ом и ёмкости С₁ = 500 мкФ, С₂ = 80 мкФ, С₃ = 500 мкФ.

Рис.7 – Схема смешанного соединения цепи

Дано: z1 = 10 Ом   z2 = 2 Ом   z3 = 30 Ом   С1 = 500 мкФ   С2 = 80 мкФ   С3 = 500 мкФ

Решение: Берём контур EKF. Сопротивление этого участка:   30 + = 30 – 6,36j (Ом)   Соответствующая проводимость этого участка:   = = =   0,032 + 0,0067j ()   Проводимость ветви EF:   314j·80·10-6 = 0,0251j ()   Сумма проводимости обоих ветвей:   0,032 + 0,0067j + 0,0251j = 0,032 + 0,0318j ()   Соответствующее сопротивление будет:   = =     = = 15,7 – 15,6j Ом   Добавим сюда сопротивление участка СЕ, равно 2 Ом. Получим:   17,7 – 15,6j Ом   Это сопротивление одной ветви другого разветвления, которое начинается в т.С, то есть CEKFD, соответствующая проводимость будет:   = = 0,031 + 0,028j ()   Проводимость участка CD будет:   3,14j·500·10-6 = 0,157j ()   Сумма проводимостей: 0,031 + 0,028j + 0,157j = 0,031 + 0,285j (), тогда соответствующее сопротивление будет:   = = 0,37 – 3,47j Ом   Добавим сюда 1 Ом, получим комплексное сопротивление цепи: z = 1,37 – 3,47j Ом   Ответ: Комплексное сопротивление z цепи 1,37– j3,47 (Ом).

Найти: 1) z -?

2.2 Операционное исчисление к расчёту электрических цепей

Цель: Научиться применять операционный метод при решении задач на расчёт электрических контуров.

Рассмотрим электрическую цепь (рис.8), состоящую из включенных последовательно индуктивности L, сопротивления R и ёмкостиC, к которой в начальный момент t=0 приложена электродвижущая сила E(t). Как известно из электротехники, в этом случае сила тока i(t) определится из уравнения:

где заряд конденсатора q(t) и сила тока i(t) связаны соотношением

Рис. 8 – Электрическая цепь с индуктивностью L, сопротивлением R и ёмкостьюC

Для решения этого уравнения можно применить метод операционного исчисления, который часто быстрее приводит к цели, чем классические методы.

Рассмотрим случай, когда q(0)=0 и i(0)=0. При этих условиях можно указать общие правила, которые позволяют получать уравнения в изображениях, не выписывая каждый раз дифференциальные уравнения.

Если q(0)=0, то , и уравнение

примет вид:

Положив I(p)i(t), E(p)e(t) и учитывая начальное условие i(0)=0, получим следующее уравнение в изображениях:

Отсюда

или

где

Величины I(p), E(p), Z(p) и называют, соответственно, операторным током, напряжением, сопротивлением и проводимостью. Величину Z(p), кроме того, называют обобщённым сопротивлением или импедансом цепи, а величину - обобщённой проводимостью цепи.

Равенство показывает, что для изображений тока и напряжения имеет место закона Ома. Для них справедливы так же первое и второе правила Кирхгофа. Действительно, переходя от равенств

,

являющихся математической записью этих правил, к равенствам в изображениях, получим

что и доказывает высказанное утверждение.

При параллельном соединении двух цепей токи i₁ и i₂ в этих цепях связаны с током i в неразветвленной части равенством:

i = i₁ + i₂

Переходя к равенству в изображениях и учитывая, что при параллельном соединении все элементы цепи находятся под одним и тем же напряжением е, получим:

I(p)=I₁(p) + I₂(p)

или

Отсюда следует, что

То есть обобщённая проводимость цепи равна сумме обобщённых проводимостей всех её ветвей.

Так же просто показать, что при последовательном соединении цепей обобщённое сопротивление цепи равно сумме обобщённых сопротивлений всех соединённых участков.

Для случая двух участков это запишется так:

Z(p)=Z₁(p) + Z₂(p)

В начальный момент t=0 в электрическую цепь (рис.8), состоящую из последовательно соединённых индуктивности L, сопротивления R и ёмкости C, включается постоянная электродвижущая сила u₀. Ток в цепи и заряд конденсатора в начальный момент равны нулю. Найти силу тока i(t) в цепи.

1. Так как i(0)=0 и q(0)=0, то операторное сопротивление:

Z(p)=L_p+R+ , а операторное напряжение U(p) =

2. Пользуясь законом Ома, найдём операторный ток:

I(p) = = = ,

где

3. Пользуясь формулами , , и теоремой смещения, получим

i(t)= ;

i(t)= ;

i(t)= .

4. Учитывая, что , можно сказать, что первый результат будет при R ; второй - R и третий – при R .

В первом случае в цепи происходит затухающий колебательный процесс.

Число называется коэффициентом затухания; при наличии R он не равен нулю, и чем больше, тем быстрее уменьшается ток.

Число называется круговой частотой; она равна числу колебаний, происходящих в цепи за время 2 секунд.

В начальный момент t=0 в электрическую цепь (рис.8), состоящую из последовательно соединённых индуктивности L, сопротивления R и ёмкости C, включается постоянная электродвижущая сила u₀. Ток в цепи и заряд конденсатора в начальный момент равны нулю. Охарактеризуем колебательный процесс.