 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Понятие о матрице. Определители второго и третьего порядков
|
|
Матрица:
Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий. Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции.
Матричная алгебра имеет обширные применения в различных отраслях знания – в математике, физике, информатике, экономике. Например, матрицы используется для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения значений физических величин в квантовой теории, шифрования сообщений в Интернете.
Матрица обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита, а набор ее элементов помещается в круглые скобки или квадратные скобки:
Представленная формулой (1) матрица A имеет m строк и n столбцов и называется m × n матрицей (“эм на эн матрицей”) или матрицей размера m × n. Строки матрицы нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо.
Матричный элемент, расположенный на пересечении i -ой строки и j -го столбца, называется i, j -м элементом и записывается в виде ai j, а выражение A = || ai j || означает, что матрица A составлена из элементов ai j. Элементы у которых номер строки равен номеру столбца образуют главную диагональ матрицы (а11,а22,..,аnn). Матрица Матрица Особую роль играют матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, то есть матрицы размера n × n. Такие матрицы называются квадратными При ссылке на квадратную матрицу достаточно указать ее порядок. Например, матрица третьего порядка имеет размер 3×3. Квадратная матрица на главной диагонали, в котором расположены единицы, ф все остальные нули называют единичной матрицой. Квадратная матрица порядка 1 отождествляется с единственным ее элементом. Над матрицами определяются 4 основные математические операции Суммой двух матриц A и B называется матрица, определяемая равенством
Пример. Произведением числа m на матрицу A называется матрица, определяемая равенством
Произведение двух матриц A и B обозначается символом AB и определяется равенством
т.е. элемент матрицы-произведения, стоящий в i -й строке и j -м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j -го столбца матрицы B. Пример.
Произведение AX определяется равенством
Определители третьего и четвертого порядков:
| ||||||||||||||||
Определителем третьего порядка, соответствующим таблице (1), называется число, обозначаемое символом
и определяемое равенством
 . (2)
Числа  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  называются элементами определителя. Элементы , , расположены на диагонали определителя, называемой главной; элементы , , составляют его побочную диагональ. Для практики вычислений полезно заметить, что первые три слагаемые в правой части равенства (2) представляют собой произведения элементов определителя, взятых по три так, как показано различными пунктирами на нижеприводимой схеме слева.
Чтобы получить следующие три члена правой части равенства (2), нужно перемножить элементы определителя по три так, как показано различными пунктирми на той же схеме справа, после чего у каждого из найденных произведений изменить знак.
Для определения определителя 3 порядки существуют методы:
1. Саррюса
2. Разложения по столбцу и по строчке
3. Способ обнуления по строке и по строчке
4. Приведение к треугольному виду.
5.
2.Основные свойства определителей.
Определитель-это число, составляемое из элементов матрицы по заданному правилу (треугольника, Саррюси и т д)
Основные свойства определителей
1°. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т.е. при транспонировании
 .
2°. При перестановке двух строк (столбцов) его знак меняется на противоположный.
3°. Определитель равен нулю, если:
а) все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю;
б) элементы каких-либо двух строк (столбцов) пропорциональны;
в) элементы каких-либо двух строк (столбцов) равны.
4°. Общий множитель элементов какой-нибудь строки (столбца) можно выносить за знак определителя
 .
5°.    .
6°. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на общий множитель  , то величина определителя не изменится.
  .
Пример:
 .
Кстати, значение определителя третьего порядка или его может вычисляться по следующему мнемоническому правилу:
  +  + -
- - - =
Для квадратных матриц с неравными нулю определителями рассматриваются понятия обратной матрицы:А-1-обратная матрица А.
Обратную матрицу составляют из матриц А по следующему правилу:
А-1=  , где А11,А12…Аn3 миноры матрицы А.
При умножении матрицы на обратную матрицу они дают единичную матрицу.
3. Минор и алгебраическое дополнение.
I. Минор
Минором  элемента  матрицы n -го порядка называется определитель матрицы (n-1) -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.
 
При выписывании определителя (n-1) -го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.
Пример 1. Составить минор  , полученную из исходной матрицы:
Решение:
  .
II. Алгебраические дополнения
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n -го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:
то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.
Пример 1. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы
Решение:
4. Теоремы о разложении определителя по элементам строки или столбца.
Рассмотрим квадратную матрицу A n -го порядка. Выберем i, j -ый элемент этой матрицы и вычеркнем i -ую строку и j -ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом Mi j:
 .
Алгебраическое дополнение Ai , j элемента ai j определяется формулой
 .
Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:
 .
Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:
 .
Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.
5.Решение систем линейных уравнений (СЛУ) с помощью определителей. Формулы Крамера.
Определение. Символ  называется определителем третьего порядка. Числа  называются элементами определителя. Элементы  образуют главную диагональ определителя, а элементы  – его побочную диагональ.
Простое правило для запоминаний этого выражения: запишем еще раз все элементы определителя, приписав к ним снова первый и второй столбцы:
Со знаком плюс берем произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также на двух параллелях к ней, содержащих по три элемента (на рисунке они перечеркнуты сплошной линией). Со знаком минус берем произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и на двух параллелях к ней, содержащие по три элемента (на рисунке они перечеркнуты пунктиром).
Решение системы линейных уравнений  с помощью определителей можно записать так (формулы Крамера):  Определитель, стоящий в знаменателе, называется главным определителем системы уравнений. Естественно, вышеприведенные формулы применимы только в том случае, если главный определитель отличен от нуля.
Пример. Решить систему  Имеем  После этого сводим решение исходной системы к решению системы с двумя неизвестными:  Решив ее, получим  .
6.Сложение матриц, умножение на число. Нулевая матрица.
Сложение матриц
Рассмотрим пример сложения двух матриц размером 2х3.
Пример 1. Даны две матрицы одинакового размера.
Найти сумму А+В двух матриц.
Решение.
Рассмотрим еще один пример на сложение матриц более высокого порядка, например 3х4
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы А на число l называется матрица В, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на l, т.е.
Нулева́я ма́трица — это матрица, размера  все элементы которой равны нулю.
[править]Признаки
Нулевая матрица, и только она, имеет ранг 0.
Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.
Другим следствием этого факта является нулёвость всех матриц размера m ×0 и 0× n, вследствие того, что ранг матрицы m × n не превосходит min(m, n).
[править]Свойства
7.Умножение матрицы на матрицу. Единичная матрица.
Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя.
Пример. 
Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата
Элемент ci,j матрицы – ответа принадлежащий i -ой строке и j -му столбцу, вычисляется как произведение i-ой строки первого сомножителя An,m на j -ый столбец второго сомножителя Bm,k. Так, например, при вычислении элемента умножается первая строка на третий столбец, а при вычислении элемента умножается третья строка на первый столбец.
Можно перемножать только те строки и столбцы, у которых одинаковое число элементов (смотри условие возможности умножения матриц). В результате получается число, равное сумме произведений соответствующих элементов (первый элемент строки на первый элемент столбца плюс второй элемент строки на второй элемент столбца и т. д. и, наконец, плюс произведение последних элементов).
Рассмотрим умножение матриц на примере:
где
Пример. 
Отметим основные свойства операции произведения матриц.
1) В общем случае  . Если  то матрицы А и В называются перестановочными по отношению друг к другу.
2) 
3) 
4) При умножении любой квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется 
Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.
Определение
Квадратная матрица  размера (порядка  ), где  для всякого  , и  для всяких  , называется единичной матрицей порядка .
Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.
Обозначение
Единичная матрица размера  обычно обозначается  и имеет вид:
Так же используется и другое обозначение:  .
Если из контекста ясно, какого размера матрица, то нижний индекс (указывающий порядок) опускается:  ,  .
Свойства
 .
Примеры
Единичные матрицы первых порядков имеют вид
Замечание
Если взять две матрицы —: матрицу  и единичную — то, приведением матрицы к единичной методом Гаусса, можно добиться одновременного приведения матрицы к матрице  .
8.Обратная матрица. Матричный метод решения СЛУ.
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
Свойства обратной матрицы
 , где А11,А12…Аn3 миноры матрицы А.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:  Составим матрицы: A =  ; B =  ; X =  .
Систему уравнений можно записать: A*X = B.
Сделаем следующее преобразование: A-1*A*X = A-1*B,
т.к. А-1*А = Е, то Е*Х = А-1*В Х = А-1*В Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Пример. Решить систему уравнений:  Х =  , B =  , A =  Найдем обратную матрицу А-1. D = det A =  5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
M11 =  = -5; M12 =  = 1; M13 =  = -1; M21 =  M22 =  M23 =  M31 =  M32 =  M33 = 
 A-1 =  ;
Cделаем проверку: A*A1 =  =E.
Находим матрицу Х. Х = = А-1В = * =  .
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3. Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.
9.Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу А (т x п)
Пусть в матрице А выбраны произвольно k -строк и k- столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-порядка матрицы А.
Определение. Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля
rang A = K, если, Mk+1= 0, Mk+2= 0,....
Приведём основные методы вычисления ранга матрицы.
I. Метод окаймляющих миноров.
Пусть в матрице А найден минор М k- го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k + 1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор (k + 1)-го порядка, и вся процедура повторится.
Пример 1.Найти ранг матрицы
Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля: 
Минор 3-го порядка  ,
окаймляющий минор M3 также отличен от нуля. Однако оба минора 4-го порядка, окаймляющие M3, равны нулю:  ,
Поэтому ранг А равен 3: rangA = 3.
З а м е ч а н и е. Нахождение ранга матриц методом окаймляющих миноров требует вычисления определителей. Поэтому этим методом удобней пользоваться для вычисления ранга матриц небольшого размера. Для вычисления ранга матрицы, у которой число строк и столбцов больше трёх, рациональней использовать метод элементарных преобразований.
II. Метод элементарных преобразований
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие:
1. Перестановка строк (столбцов).
2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.
3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.
4. Вычёркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю.
З а м е ч а н и е. 1) Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы; 2) матрицы, полученные одна из другой путём элементарных преобразований, называются эквивалентными (обозначаются A ~ В).
Чтобы вычислить ранг матрицы А, путём элементарных преобразований сводим её к ступенчатому виду (в частности к треугольному), выделяя наибольший минор, отличный от нуля. 
A ~ rangA = rangB= k
Пример 2. Найти ранг матрицы
Решение. 1) переставим строки матрицы: 
2) первую строку умножим на 2 и сложим со второй:  ,
3) первую строку умножим на 3 и сложим с третьей, одновременно вторую строку прибавим к четвёртой:  ,
4) умножим вторую строку на, третью на, пятую на,четвёртую вычеркнем: 
5) прибавим вторую строку к третьей и четвёртой:  ~,
Ранг последней матрицы, а значит и исходной, равен двум: rangA = 2.
Пример 3.Найти ранг матрицы 
rang A=2
Над матрицей А были проведены следующие преобразования:
а) Первая строка матрицы А умножается на (- 2) и прибавляется ко второй.
б) Первая строка матрицы А умножается на (- 1) и прибавляется к последней.
в) Вторая строка матрицы А умножается на (- 2) и прибавляется к третьей.
г) Нулевая строка вычёркивается.
Оставшаяся матрица содержит миноры второго порядка отличные от нуля. Строки такой матрицы называются линейно независимыми, их число равно рангу матрицы
10.Простейшие сведения о векторах. Сложение векторов. Умножение вектора на число.
Лекция в тетради.
Произведение векторов
|
размера 1× n называется строчной или вектор-строкой.
размера n ×1 называется столбцевой или вектор-столбцом. Для краткости вектор-строку и вектор-столбец обычно называют просто векторами.
на нулевую матрицу размера 
является вырожденной, и, как следствие, её определитель равен нулю:
, где 
обозначает определитель.
для любых двух обратимых матриц 
.
где 
обозначает транспонированную матрицу.
для любого коэффициента 
.
, (b — ненулевой вектор) где 
— искомый вектор, и если 
. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Ортогональность
Работа силы 
на участке 
Коллинеарность
параллелограмма
треугольника
2) 
или 
Компланарность
параллепипеда
пирамиды
Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 276 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
