Характеристики последовательности случайных чисел

Последовательность – бесконечное множество чисел, а если это конечная часть последовательности, то ее принято называть выборкой. Пусть xi – это последовательность случайных чисел, она характеризуется средним значением, дисперсией, функцией и плотностью распределения. – среднее значение; – дисперсия;

F(x)= P(β<x) – функция распределения, которая определяется как вероятность нахождения случайной величины β в диапазоне (-∞;х).

Функция плотности распределения определяется как производная функции распределения: ρ(x) = dF/dx – плотность распределения.

Функция и плотность распределения для последовательности случайных величин говорит о характере этой последовательности, причем только нормальное распределение является абсолютно случайным, остальные варианты распределений содержат детерминированную часть.

Чаще всего нужно равномерное распределение (плотность ρ везде одинакова).

Свойства равномерного распределения:

1. Функция распределения меняется линейно.

2. Равномерно распределенная величина, должна быть ограничена конечным

отрезком [a,b].

3. Величина ρ=1/(b-a), где [a,b]- отрезок, ограничивающий случайную

величину.

Нормальное распределение

Свойства нормального распределения:

1. График плотности распределения имеет вид симметричного колокола.

2. Дисперсия определяет уширение колокола, чем D больше, тем колокол

шире. (D равен ширине колокола на половине высоты).

3. Центр колокола совпадает с средним значением случайной величины.

Для того, чтобы получить последовательность случайных чисел, нужно

устройство, которое называется генератор случайных чисел. Для удобства их делают

генераторами равномерного распределения. Принято их комбинировать, чтобы величина

находилась в отрезке от 0 до 1, т.е. 0 ≤ β ≤1.

Экспоненциальное. . Пусть у нас есть случ. величина - равномерно распределена.

. Мы должны , чтобы найти . Т.о.чтобы получить мы должны все значения преобразовать в . Т.о. можно получить любое распределение. Если мы можем найти в явном виде его фун-ю распределения. В данном примере мы получили фор-лу с помощью которой можно получить по равномерному распределению экспоненциальное расп-е, т.е. если распределено равномерно на [0;1], то будут распределяться по экспо-у закону .

Нормальное. , . Взять первообразную от этой фун-и нельзя, но можно воспользо-ся методом сложения посл-ти. Пусть мы с помощью генератора генерируем не 1 пос-ть, а несколько строим сумму. , где N-число посл-тей. В соответствии с центр. Теоремой теоремой вероятности, чем больше будет таких пос-тей, тем ближе распред-е будет ближе к нормальному. Для получения нормального распределения нужно 5 раз сгенерировать равномерно распределенные пос-ти. Затем сложить м/д собой эти пос-ти и найти их среднее.

Произвольное. Метод дистограмм наиболее трудоемкий, но зато позволяет построить любое расп-е, кот-ое задано графиком плотности. Разделим отрезок [a; b] на n равных частей длиной . В концах отрезка восстановим значение фун-и, это будут узлы. , -высота столбика. -относительная высота. Высота прямоугольников д.б. пропорциональна отрезку . -вероятность, что отсюда и идея метода дистограмм. Если мы будем распределять случ.числа по этим отрезкам так, чтобы внутри отрезка вер-ть была равномерна, а м/д отрезками опред-сь бы вероя-тью . Чем больше будет этих отрезков, тем больше фун-я будет похожа на заданную, т.е. лучше будет аппроксимация.На каждом отрезке распределение равномерное нужно эти отрезки переводить по очереди. Отсюда 1-ый вариант послед-но прямоуг-к за прямоуг-ом генерирует эти числа. Возникает проблема, что вер-ть попадания в каждый прямоуг-к разная зависит от высоты кол-во точек которое попадает в каждый прямоуг-к разное и пропорциональное . Мы могли бы опред-ть кол-во точек для каждого отрезка, если бы знали общее кол-во точек, которое нам потребо-сь, но это известно не всегда. Поэтому предлаг-ся другой способ распределение чисел равномерно. Возьмем отрезок [0;1] разобьем на n частей, но не равных а пропорциональных . Тогда на [0;1] будут отрезки пусть мы генерируем случ числа равномерно распределенные. Тогда вер-ть того, что попаджет на к отрезок будет равна длине этого отрезка . Мы получили следующие преобразования по формуле тогда причем вероя-ть попадания в этот отрезок равна . Значит, что мы построили распределение для виде дистограмм.

Моделирование потоков случайных событий. Сис-мы массового обслуживания. Основные понятия и хар-ки потоков. Класс-ция с-м масс.обс-ния. Оценка осн. Парпметров сис-м обс-ния(очередь, время ожидания)Формула Литтла.

Поток событий- последова-ть случ. событий, следующих одно за друг, в какие-то случ. моменты времени. Напр. поток вызовов на телефонной станции, поток ж.д.составов, поступающих на сортировочную станцию. Поток событ. можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени Ot, положение кажд. из них случайно. Событ., образующие поток, сами по себе вероят-ми не обладают; вер-тями облад. др., производные от них события. В реальности события и заявки могут быть 2 видов: 1) однородные–это те заявки, которые всегда одинаковые по виду обслуживания. 2) неоднородные – обслуживаются по разному. При этом заявки в потоке считаются неодновременными и практически мгновенными. Поток, в кот. не могут быть двух заявок одновременно, назыв. одинарным. Между событиями есть промежутки времени. Если эти промежутки времени строго фиксированы, то такой поток называется регулярным. Если время между событиями меняется случайно, то такой поток называется случайным. Доказано, что любой неоднородный поток может стать однородным, если его время обслуживания соединять с промежутками между событиями. Стационарный поток – это случайный поток, характеристика которого не меняется со временем. Под характеристикой понимается плотность потока λ, которая равна среднему количеству заявок, проходящих за ед. времени. Одинарный поток назыв. ещё простейшим потоком. Интенсивность потока ()-сред. число событий, приходящееся на ед. времени. Интенс-ть может быть постоянной и зависящей от времени t.

Регулярный поток -когда соб. следуют одно за другим ч/з определенные равные промежутки времени. Ещё одна характеристика: распределение определяет вероятность того, что событие произойдёт в какой-то промежуток времени. Пуассоновский поток – это поток без последействия, т.е. вероятность появления события не зависит от предшествующих событий. Этот поток является наиболее случайным из всех возможных. Стационарный пуассоновский поток имеет следующее распределение (которое называется распределением пуасона):P_m(τ)=(λτ)^m/m!*e^-λτ, где λ – плотность потока; τ – промежуток времени;m – кол-во событий

Если пуассон-ий поток не стационарен,то P₀(τ,t₀)=a^m/m!*e^-a.

Функция λ(t) – это функция, которая показывает зав-сть плотности потока от времени для нестационарного режима.В любой фиксированный момент λ(t_ф)= λ_ф – мгновенная плотность. Совершенно случайным потоком явл. только пуассоновский. Потоки с другим распределением можно представить как сумму случ. и детерминированных потоков. Причём случайная составляющая может представляться как сумма нескольких пуассоновских потоков с различным λ. → пуассоновские потоки должны иметь последействие, т.е. вероятность появления нового события от предшествующих событий.

Поток Пальма – это пуассоновский поток, в кот. на последействие наложены ограничения.Обычно потоки Пальма образуются с пом. потоков Эрланга (они наз. ещё рекуррентными).Потоки Эрланга можно получить из пуассоновских потоков путём просеивания. Если из потока выбирать каждую вторую заявку, то это поток Эрланга второго порядка, каждую третью – третьего и т.д.Док-но, что чем > порядок потока Эрланга, тем > последействие. При n→∞ получим регулярный поток. Тогда пуассоновский поток это поток Эрланга 1-го порядка. Следует учитывать, что для создания потоков Эрланга исп-ся стационарные потоки. Поэтому стационарный пуассоновский поток называют простейшим.

СМО – это дискретные системы, которые могут быть как стахостические, так и детерминированные. Обычно это стахостические. Обычно СМО решается как имитационная модель. Началом теории СМО было решение задачи Эрланга: в 20-е годы ХХв. в Европе проходил процесс телефонизации. Эрланга телефонная компания попросила решить их проблему.Дано n-абонентов. Все они связаны с телефонной станцией. Проблема возникает, когда абоненты связываются с абонентами другой ТС. Между станциями существует m каналов, каждый канал – это дорогая вещь. Поэтому каналов < абонентов, т.е. m<n и возможна ситуация когда все каналы заняты, тогда абонент получает отказ (сбой) соединения. Фирма попросила определить оптимальное число каналов, чтобы с одной стороны их было поменьше (т.е. стоимость <), а качество соединения удовлетворяло заданным требованиям.

Т.е. может задаваться кол-во отказов до соединения, либо среднее время ожидания соединения. Эрланг провёл исследование реальной ТС, нашёл вероятности обслуживания абонентов, построил кривую потока заявок в соответствии с кот. была изменена тарифная система. Он определил основные характеристики такой системы обслуживания – это средняя пропускная возможность канала, среднее время обслуживания и среднее количество отказов. Он получил систему ДУ для вероятности нахождения системы в каком-то состоянии. Аналогичную систему разработал Марков при изучении Марковских процессов. В дальнейшем оказалось, что системы типа СМО чрезвычайно распространены:А) торговля Б) транспорт В) многие технологические процессы и особенно работа персонала, т.к. человек всегда поступает довольно хаотично Г) элементы систем массового обслуживания были найдены в различных экономических системах Д) системы связи и коммуникации, компьютерные сети и сама ЭВМ.

СМО принято классифицировать двумя способами:

1. по типу потоков событий-заявок; 2. по дисциплине обслуживания.

Т.е. в общем случае СМО представляет из себя устройство для обслуживания, на которое поступает поток заявок. Устройство может обслужить заявку или сделать отказ.

Примеры СМО:

1. Ремонтная зона в автохозяйстве и автобусы, сошедшие с линии из-за поломки.

2. Травмопункт и больные, пришедшие на прием по случаю травмы

3. Телефонная станция с одним входом и абоненты, которых при занятом входе ставят в очередь.

СМО обозначают с помощью графосостояний:

где 1,2,3 – это вершины, состояния; ребра – это переходы из одного состояния в другое; - плотность потока; p - вероятности события. Можно для каждого состояния задать вер-ть того, что система нах-ся в каком-то состоянии. В теории массового обслуживания часто встречается схема гибели и размножения, если граф состояний системы представ. собой «схему гибели и размножения», то уравнение Колмогорова, алгебраич. ур-ия для финальных вероятностей для некоторых случаев удается решить заранее, в буквенном виде.

Уравнения Колмогорова-Эрланга:

, где .

Причем входящий поток идет с «+», исходящий – с «–».

Ур-я хар-ны для колебательной системы, в них есть переходные процессы, а затем система переходит к устойчивому, равновесному состоянию. марков и Колмогоров док-ли, что через опред-ое время устанавливается равновесное – финитное – состояние. Чтобы получить финитное состояние, необх-мо, чтобы все вер-ти =0:

. Тогда финитное решение ур-я Колмогорова-Эрланга:

Решая эти уравнения можно определить характеристики СМО:

1)средняя загруженность узлов обслуживания; 2)среднее время обслуживания заявки; 3)среднее время ожидания в очереди; 4)средняя длина очереди.

В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной. Эти СМО чаще встречаются на практике. Обслуживание с приоритетом - когда заявки обслуж-ся вне очереди. Абсолютный приоритет – когда заявка с более высоким приоритетом «вытесняет» из-под обслуживания заявку с низшим. Относительный приор. - когда начатое обслуживание доводится до конца, а заявка в более высоким приоритетом имеет лишь право на лучшее местов очереди. СМО с многофазовым обслуживанием – состоит из нескольких последовательных этапов или фаз. В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (ск-ко каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Рассмотрим схему гибели-размножения (автор Эрланг). Здесь возможны только переходы между соседними состояниями. Граф представляет собой ленту:

Составим уравнения: (1)

Т.о., последующее значение можно выразить через .

, , ,

Так как , Эта формула позволяет рассчитать вероятность , не решая системы уравнений, то

.