Векторные диаграммы

Для упрощения анализа и расчета цепей переменного тока целесообразно использовать векторы.

В электротехнике векторами изображаются изменяющиеся синусоидально ЭДС, напряжения и токи, но в отличие от векторов, которыми изображались силы и скорости в механике, эти векторы вращаются с постоянной угловой частотой ω и не означают направление действия.

Допустим, что радиус-вектор ОА (рис. 2.3, а), представляющий собой в определенном масштабе амплитудное значение ЭДС Е т, вращается с постоянной угловой частотой ω = 2π f против часовой стрелки. Проекция вектора ОА на вертикальную ось (ось у) будет равна

Оа = ОA sin α.

Выразив ОА через амплитудное значение ЭДС Е т и α через ω t, получим выражение мгновенного значения ЭДС, изменяющейся синусоидально:

е = Е т sin ω t.

График мгновенных значений ЭДС изображен на рис. 2.3, б. За начало отсчета выбран момент времени, когда радиус-вектор совпадает с горизонтальной осью (ось х).

Рис. 2.3. Вращающиеся векторы (а) и график мгновенных значений синусоидальной ЭДС (б)

Если в момент t = 0 радиус-вектор ОА совпадает с линией, расположенной под углом ψ к оси х, то проекция Оа' и, следовательно, ЭДС будут соответственно равны

Оа' = ОА' sin (ω t + ψ), е = E m sin (ω t + ψ).

Аналогично можно представить в виде векторов, вращающихся против часовой стрелки с постоянной угловой частотой ω, напряжение и ток.

Расчет цепей синусоидального тока производят в действующих значениях ЭДС, напряжений и токов. При этом суммирование Е, U, I проще осуществить с помощью вращающихся векторов, вместо того чтобы, сложив мгновенные значения е, и, i, определить действующие значения результирующих Е, U, I интегрированием гармонических функций. Адекватность этих действий можно обосновать так.

Допустим, что в каком-то узле цепи переменного тока (рис. 2.4, а) известны значения токов i 1 и i 2:

i 1 = I 1 m sin (ω t + ψ1);
i 2 = I 2 m sin (ω t + ψ2).

Требуется определить ток i.

На основании первого закона Кирхгофа мгновенное значение тока

i = i 1 + i 2,

т. e.

i = I 1 m sin (ω t + ψ1) + I 2 m sin (ω t + ψ2).

Ток i можно определить аналитически путем тригонометрических преобразований или графически сложением графиков мгновенных значений токов i 1 и i 2, как это сделано на рис. 2.4, б. Результирующий ток также изменяется синусоидально и в соответствии с рис. 2.4, б

Рис. 2.4. Сложение синусоидальных токов с помощью векторов (а): графики мгновенных значений токов (б)

i = I m sin (ω t + ψ).

Значительно проще произвести сложение токов i 1 и i 2, если изобразить амплитуды токов в виде векторов и сложить их по правилу параллелограмма. На рис. 2.4, а амплитуды токов I 1 m и I 2 m изображены в виде векторов под углами начальных фаз ψ1 и ψ2 относительно оси х. По прошествии времени t векторы повернутся на угол α = ω t. Проекции амплитуд на ось у составят

i 1 = I 1 m sin (ω t + ψ1);
i 2 = I 2 m sin (ω t + ψ2).

Сложив векторы I 1 m и I 2 m по правилу параллелограмма (см. рис. 2,4, а), получим амплитуду результирующего тока I m. Сумма проекций токов I 1 m и I 2 m равна проекции результирующего тока I m:

i = i 1 + i 2.

Рис 2.5. Векторная диаграмма напряжений

Полученное выражение соответствует первому закону Кирхгофа для рассматриваемого узла цепи (см. рис. 2.4, а). Из рис. 2.4. а видно, что взаимное расположение векторов I 1 m, I 2 m и I m в любой момент времени остается неизменным, так как они вращаются с постоянной угловой частотой ω. Аналогично можно определить сумму нескольких изменяющихся синусоидально с одинаковой частотой напряжений или ЭДС Например, в последовательной цепи переменного тока действуют три напряжения:

u 1 = U 1 m sin (ω t + ψ1);
u 2 = U 2 m sin (ω t + ψ2);
u 3 = U 3 m sin (ω t + ψ3).

Сумму u = u 1 + u 2 + u 3 напряжений можно определить путем сложения векторов их амплитуд (рис. 2.5)

Ūm = Ū 1 m + Ū 2 m + Ū 3 m

и последующей записи результирующего напряжения u = U m sin (ω t + ψ).

Совокупность нескольких вращающихся векторов, соответствующих уравнениям электрической цепи, называется векторной диаграммой.

Обычно векторные диаграммы строят не для амплитудных, а для действующих значений. Векторы действующих значений отличаются от векторов амплитудных значений только масштабами, так как

I = I m /√2.

При построении векторных диаграмм обычно один из исходных векторов располагают на плоскости произвольно, остальные же векторы — под соответствующими углами к исходному. При этом в подавляющем большинстве случаев можно обойтись без нанесения осей координат х и у.