Нормальное распределение. Плотность вероятности и функция распределения распределения нормального закона для случайной величины Х определяется уравнением

Плотность вероятности и функция распределения распределения нормального закона для случайной величины Х определяется уравнением:

Параметрами этого закона является математическое ожидание, параметр масштаба и дисперсия.

Нормальному закону подчиняются, например, температура воздуха, парциальное давление водяного пара, атмосферное давление как у земной поверхности, так и в свободной атмосфере, компоненты скорости ветра в свободной атмосфере, а также некоторые другие гидрометеорологические величины. Поэтому нормальный закон (закон Гаусса) в гидрометеорологических исследованиях часто используется.

Определим основные свойства нормального распределения.

1. Кривая распределения симметрична относительно ординаты,

проходит через точку m_x.

2. Кривая имеет один максимум при X = m_x.В точке максимума плотность распределения равна:

3. При —> ∞ ветки кривой асимптотически приближаются к оси ОХ.

4. Согласно симметричностью кривой распределения, математическое ожидание, мода и медиана нормального распределения совпадают: m_x=M₀=M_e (мода - это значение случайной величины, на которую приходится максимум вероятности; (медиана - это такое значение случайной величины, для которой Р(х<М_е) = Р(х>М_е)).

5. Кривая распределения имеет две точки перегиба с координатами:

6. Нечетные центральные моменты нормальном распределении, равны нулю.

, q=2,3,4…

Из формулы следует, что поскольку μ1 = 0, все моменты нечетного порядка равны нулю.

;

7. Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю.

Становится понятной важность вычисления этих коэффициентов для эмпирических рядов, поскольку они характеризуют скиснисть и сплющенисть (или вытянутость) данного распределения по сравнению с нормальным.

8. Форма кривой нормального распределения не изменяется с изменением математического ожидания. При уменьшении или увеличении математического ожидания график плотности вероятности сдвигается влево или вправо.

9. При чередовании дисперсии изменяется форма кривой распределения. С увеличением максимальная ордината уменьшается, а с уменьшением - увеличивается. Согласно свойством плотности распределения, площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Поэтому при росте σх кривая распределения растягивается вдоль оси абсцисс.

10. Если случайная величина Х нормально распределенная для нее справедливы 3 соотношение через параметры:

1)P[m_х-σ_х<x<m_х+σ_х] = 0,6827

Вероятность того, что случайная величина Х находится в односигмовому интервале составляет 0,68 (68%).

2) P[m_х-2σ_х<x<m_х+2σ_х] = 0,9545

Вероятность того, что случайная величина Х находится в двосигмовому интервале составляет 0,95 (95%).

3) P[m_х-3σ_х<x<m_х+3σ_х] = 0,9973

Вероятность того, что случайная величина Х находится в трьохсигмовому интервале составляет 0,99 (99%) или ~ (100%).

С последнего равенства следует, что практически рассеяния нормально распределенной случайной величины X заключается на интервале

вероятность того, что X выходит за этот интервал, очень мала и равна 0,0027. Такое событие может считаться практически невозможной.

Третье уравнение является основой для правила трех сигм: если случайная величина имеет нормальное распределение, то отклонение этой величины от математического ожидания по абсолютной величине не превышает трех средних квадратических отклонений. Но, если последнее свойство выполняется, это еще не означает, что случайная величина X подчиняется нормальному распределению.