![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. При каких значениях графы Gn (определение см. в упр. 14
гл. I) планарны?
2. Докажите, что любой граф можно уложить в трехмерном
пространстве так, что все его ребра будут изображены прямоли-
нейными отрезками.
3. Всегда ли планарен реберный граф L(G) планарного гра-
фа G?
4. Нарисуйте граф, изоморфный графу, изображенному на
рис. 37.1, так, чтобы внешней стала грань а) 2; б) 3.
5. Скольким граням может принадлежать вершина степени
d ³ 1 плоского графа?
6. Покажите, что формула Эйлера следующим образом обоб-
щается на случай несвязного плоского графа: n — m +f =k+ 1,
где k — число связных компонент графа, а остальные символы
имеют прежний смысл.
7. Нарисуйте плоский граф (n>5), среди вершин которого
ровно 4 вершины со степенями, не превышающими 5.
8. Существуют ли 6-связпые планарные графы?
9. Докажите, что для связного плоского (n,m)-графа с n ³ 3,
грани которого не являются треугольниками, верно неравенство
n£2n— 4.
10. Покажите, что всякая плоская триангуляция с n ³ 3 вер-
шинами имеет 2п — 4 грани.
11. Все вершины плоской триангуляции раскрашены произ-
вольным образом в три цвета. Грань будем называть правильной,
если ее вершины окрашены в три различных цвета. Покажите, что число правильных граней четно.
12. Пусть в плоской триангуляции G существуют такие три
вершины а, b, с, что граф G—{а, b, с} не является связным. До-
кажите, что тогда граф G содержит 3-цикл (а, b, с), не являющий-
cя границей грани.
13. Для всякого связного планарного (n, m)-графа с n³ 3,
обхват которого равен h[k1] ³[k2] 3, верно неравенство m(h — 2)£
£h(n — 2). Используя это соотношение, докажите, что граф Пе-
терсена непланарен.
14. Убедитесь, что реберные графы графов К5 и K3,3 не-
планарны.
15. Какие из графов, изображенных на рис. VI.1, являются
планарными?
16. При каких n графы порядка 2n, изображенные на рис. VI.2,
являются планарными?
17. Изобразите стереографические проекции пяти платоно-
вых тел.
18. Докажите, что не существует плоского графа с пятью гра-
нями, обладающего тем свойством, что любые две его грани имеют
общее ребро.
19 Пусть G — плоский двусвязный граф. Докажите, что мно-
жество всех простых циклов, каждый из которых ограничивает
внутреннюю грань графа G (см. теорему 37.7), образует базис цик-
лов графа G.
20.Планарный граф называется внешнепланарным, если его
можно уложить на плоскости так, что все его вершины будут ле
жать на границе одной грани (удобно в качестве такой грани брать
внешнюю грань). Докажите, что следующие утверждения экви
валентны:
1) граф G внешнепланарен;
2) граф G', полученный из G добавлением новой вершины и
соединением ее новыми ребрами со всеми вершинами графа G,
планарен;
3) каждый блок графа G внешнепланарен.
21. Внешнепланарный граф называется максимальным внешне
планарным, если он перестает быть внешнепланарным при добав
лении любого ребра. Пусть в таком графе число вершин n ³3 и
все они лежат на границе внешней грани. Покажите, что тогда граф имеет n — 2 внутренние грани.
22. Докажите, что любой максимальный внешнеплапарный
граф G с n³3 вершинами имеет а) 2n — 3 ребра; б) по крайней
мере две вершины степени 2; в) x(G) = 2.
23. Какое минимальное число ребер (вершин) необходимо уда
лить из куба Q4, чтобы полученный граф стал планарным?
24. Докажите изоморфизм графов, изображенных на рис. VI.3.
Изоморфны ли графы, геометрически двойственные к ним?
25. Пусть плоский граф G не связен. Покажите, что тогда его
«второй геометрически двойственный» граф G** не изоморфен
графу G.
26. Покажите, что граф, геометрически двойственный к коле
су Wn, является колесом.
27. Пусть планарный (n,m)-граф G таков, что двойственный
к нему изоморфен графу G. Покажите, что тогде т = 2n — 2.
28. Покажите, что планарный граф (без петель) является
2-связным тогда и только тогда, когда двойственный к нему
2-связен.
29. Найдите графы, геометрически двойственные к стереогра-
фическим проекциям Платоновых тел.
30. Воспользовавшись алгоритмом Y укладки графа на плос-
кости, покажите, что граф К5 не планарный.
31. С помощью алгоритма Y постройте плоские укладки или
установите непланарность графов, изображенных на рис. VI.4.
32. Чему равна искаженность графов К5 К3,3и графа Пе-
терсена?
33. Чему равно число скрещиваний графов К5, Кз.з и графа
Петерсена?
34. Докажите или опровергните утверждение: сг(С) = 1 для непланарного графа G тогда и только тогда, когда существует такое ребро е. что граф G — е планарен.
34. Покажите, что
![]() |
36. Найдите толщину графов К5, К3,3 и графа Петерсена. 37. Покажите, что всякий непланарный граф гомеоморфен некоторому графу толщины 2.
38. Уложите куб Q4 на торе.
39. Найдите род графа Петерсена.
40. Приведите пример графа рода 2.
41. Покажите, что род графа не превосходит числа скрещиваний, т. е. Y(G)£cr(G). Приведите примеры графов G, для которых 1) Y(G) < сг(G), 2)Y(G) =.cr(G).
42. Покажите, что не существует полного графа рода 7.
43. Можно ли уложить графы К5 и К3,3 на листе Мёбиуса?
[k1]
[k2]
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 642 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!