Примеры решения задач. Метод решения большинства задач на интерференцию света сводится к двум основным этапам: нахождения оптической разности хода и применения условия максимума

Метод решения большинства задач на интерференцию света сводится к двум основным этапам: нахождения оптической разности хода и применения условия максимума (1)

или минимума (2)

Пример 1. Рассчитать интерференционнуюкартину от двух когерентных источников I и II (рис. 1), расположенных на расстоянии мм друг от друга и на расстоянии м от экрана. Длина волны источников в вакууме м. Определить также положение на экране пятого максимума и расстояние между соседними максимумами. Среда - вакуум.

Рис. 4.15

Решение.

До встречи в произвольной точке экрана (рис. 4.15), в которой оценивается результат интерференции, каждая из волн проходит соответствующий геометрический путь и . Полагая для простоты начальные фазы равными нулю, а амплитуды - одинаковыми, запишем уравнения волн данных источников:

,

,

.

По принципу суперпозиции результирующее колебание в точке

является гармоническим с той же частотой , но с амплитудой

, (3)

зависящей от параметра . Возводя (3) в квадрат, получаем распределение интенсивности света на экране:

. (4)

Свяжем разность хода с координатой точки на экране. Из подобия треугольников и (учтя, что , а ) находим

. (5)

Отсюда

. (6)

Таким образом, распределение интенсивности

. (7)

График функции (7) представлен на рис. 4.15. Учитывая условия максимума (1) и (5), определяем положение -го максимума:

, м, (8)

а также расстояние между соседними максимумами:

, м. (9)

Два реальных источника света не являются когерентными. Поэтому рассмотренная задача о расчете интерференционной картины двух когерентных источников является идеальной. Однако ее результаты и метод

Рис. 4.16

решения часто используют при расчете реальных интерференционных устройств. В большинстве случаев в таких приборах луч разделяется на две когерентные части. После прохождения различных оптических путей эти части исходного луча интерферируют.

Пример 2. В установке для получения колец Ньютона пространство между линзой (показатель преломления ) и плоской прозрачной пластиной (показатель преломления ) заполнено жидкостью с показателем преломления (рис. 4.17). Установка облучается монохроматическим светом ( м ), падающим нормально на плоскую поверхности линзы.

Рис. 4.17.

Найти радиус кривизны линзы , если радиус четвертого () светлого кольца в проходящем свете мм.

Решение. Интерференция лучей осуществляется в тонком жидком клине (показатель преломления жидкости больше как , так и ). Именно в этой тонкой жидкой пленке неодинаковой толщины каждый луч разделяется на две когерентные части. В проходящем свете -й максимум образуется вследствие интерференции луча I, прошедшего через точку в пластину, и части II этого же луча , отразившейся в точках и и прошедшей в пластину через точку (рис. 4.17). Так как и , то при отражении в точках и потери полуволны не происходит. Следовательно, приобретаемая лучами I и II оптическая разность хода

,

где - толщина жидкого клина в точке . Учитывая, что

,

а также условие максимума (1), находим

.

Отсюда радиус кривизны линзы

, см.

Пример 3. Воздушный клин образован двумя плоскопараллельными пластинками, на которые нормально падает монохроматический свет с длиной волны нм. Определить угол между пластинками, если ширина интерференционных полос, наблюдаемых в отраженном свете, составляет м.

Решение. В данном случае интерферируют лучи 1 и 2, отраженные от двух поверхностей воздушного клина (рис.4.17). пусть точка соответствует -й интерференционной полосе, - -й, и - соответствующие толщины воздушного клина. Учитывая, что угол мал, можем записать:

,

где ;

.

Запишем условие максимума для -й и -й полюс:

; ,

Рис. 4.17

Откуда .

Тогда .

Пример 4. Интерферометр Рэлея. Его схема показана на рис 4.18. Здесь - узкая щель, освещаемая монохроматическим светом с длиной волны , 1 и 2- две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых равна , торцы- прозрачные, - диафрагма с двумя щелями. Когда воздух в трубке 1 постепенно заменили газом , то интерференционная картина на экране сместилась вверх на полос. Зная показатель преломления воздуха, определить показатель преломления газа .

Рис. 4.18.

Решение.

Смещение на полос означает, что оптическая разность хода лучей, падающих на щели, стала равной , т. е. . Отсюда .

Смещение полос вверх свидетельствует о том, что и максимум нулевого порядка сместился вверх. При этом увеличение геометрической длины луча 2 компенсируется увеличением оптической длины луча 1.

Интерферометр Рэлея используется для измерения малых разностей показателей преломления прозрачных веществ (газов и жидкостей).