Погрешность математических выражений

При вычислении математических выражений, в которые входят приближенные числа, возникает необходимость в определении погрешности результата. Для этого нужно уметь вычислять погрешности арифметических операций и функций.

Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

Если х₁, х₂, х₃, …, х_1n - данные приближенные числа, а u – их алгебраическая сумма, то согласно теореме,

.

Вследствие этого за предельную абсолютную погрешность алгебраической суммы можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей слагаемых

.

Данная формула используется, как при сложении, так и при вычитании.

Относительная погрешность произведения (частного) приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.

Если x,y приближенные числа и (аналогично при ), то, следуя предыдущей теореме, можно записать:

или .

Таким образом, за предельную относительную погрешность произведения (частного) можно принять сумму предельных относительных погрешностей множителей (делимого и делителя).

Нетрудно понять из предыдущих рассуждений, что за предельную относительную погрешность степени (где x – приближенное число) можно принять произведение показателя степени на предельную относительную погрешность основания .

Рассмотрим пример вычисления погрешности выражения

при , , .

Вначале найдем X=5970441,129. Результат округлим до четырех значащих цифр: . За абсолютную предельную погрешность округления в этом случае можно принять .

Заметим, что в скобках и в подкоренном выражении производится операция вычитания. В этом случае производится расчет с помощью абсолютных погрешностей.

Имеем , .

Переходя к относительным погрешностям можно записать итоговое выражение.

В итоге, округляя с избытком, получим

.

Предельная абсолютная погрешность

.

Если учесть погрешность округления, то окончательно можно записать:

.

Для вычисления предельной абсолютной погрешности функции многих переменных: f(x₁, x₂,…,x_n), каждая из которых является приближенным числом, справедлива формула:

В частности, для функции от одной переменной: f(x) справедлива формула:

Например: