Теоретические положения. 1. Синусоидальные токи, напряжения и ЭДС

1. Синусоидальные токи, напряжения и ЭДС.

В линейной электрической цепи при действии периодических ЭДС с одинаковым периодом Т, спустя достаточно большой промежуток времени от начала действия этих ЭДС, устанавливаются во всех участках цепи периодические токи и напряжения с тем же периодом Т. Величина является частотой ЭДС, тока или напряжения. Частота численно равна числу периодов в единицу времени и измеряется в герцах (Гц).

Наибольший интерес представляют периодические синусоидальные токи, напряжения и ЭДС:

(2.1)

Величины e, u, i называют мгновенными значениями. Их наибольшие значения E_m, U_m, I_m называют амплитудными значениями. Величину называют угловой частотой. Аргумент синуса называют фазой, величины ψ_e, ψ_u, ψ_i – начальной фазой.

2. Действующие и средние значения синусоидальных величин:

(2.2)

3. Изображение синусоидальной функции комплексным числом.

В курсе теории линейных электрических цепей используются следующие формы записи комплексного числа:

алгебраическая ;

показательная ; (2.3)

тригонометрическая ,

здесь – модуль комплексного числа;

– аргумент комплексного числа;

– действительная часть комплексного числа;

– мнимая часть комплексного числа.

Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных чисел, а показательная – при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня.

4. Комплексные выражения синусоидальной функции времени, ее производной и интеграла приведены в табл. 2.1.

Соответствующие комплексные амплитуды запишем так:

(2.4)

Таблица 2.1

Временная и комплексная записи	Функция	Производная функции	Интеграл от функции
Запись во временной области
Комплексная функция времени
Комплексная амплитуда
Комплексное действующее значение

Согласно ГОСТу любое комплексное значение обозначается соответствующей буквой с чертой под ней, например , . Однако для величин, изменяющихся с течением времени синусоидально, разрешается комплексные величины обозначать с точкой над соответствующей буквой, таковы , напряжение , ток . Так что такие записи эквивалентны: , , .

5. Пассивные элементы электрической цепи (см. табл. 2.2).

Пассивный элемент электрической цепи определяется своим комплексным сопротивлением – комплексным числом, равным отношению комплексного напряжения на зажимах данного элемента к комплексному току этого элемента:

. (2.5)

В табл. 2.2 приведены пассивные элементы, их изображения и обозначения.

6. Законы Кирхгофа.

(2.6)

7. Комплексная мощность.

Определяется как:

, (2.7)

где – полная мощность;

– активная мощность;

– реактивная мощность;

– сопряженный комплекс тока.

Баланс мощностей

. (2.8)

Таблица 2.2

Элементы	Сопротивление при синусоидальном токе	Запись сопротивления в комплексной форме	Проводимость при синусоидальном токе	Запись проводимости в комплексной форме
Наименование	Свойство	Изображение и буквенное обозначение
Резистор	Электрическое сопротивление		R	R
Индуктивная катушка	Индуктивность
Конденсатор	Емкость