Уравнение прямой на плоскости

ГЛАВА 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

1. общее уравнение прямой

Прямая на плоскости задается однозначно, если известен вектор, которому она перпендикулярна и точка, через которую она проходит. Вектор, перпендикулярный прямой, будем называть нормальным вектором, или вектором нормали,и обозначим через n (A, B), где (A, B) – координаты в прямоугольной декартовой системе координат. Точка, через которую проходит данная прямая, называется начальной точкой, обозначим ее M ₀(x ₀, y ₀).

Произвольная точка М (x, y) лежит на прямой в том и только том случае, если вектор перпендикулярен вектору нормали n (рис. 18). В свою очередь тогда и только тогда, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(n, ) = 0.

Учитывая, что вектор имеет координаты (x – x ₀, y – y ₀), запишем скалярное произведение:

A (x – x ₀) + B (y – y ₀) = 0.

Преобразуем это равенство

Ax + By – Ax ₀ – By ₀ = 0,

обозначим через C = – Ax ₀ – By ₀, получим

Ax + By + C = 0.

Это уравнение есть общее уравнение прямой. Напомним, что (А, В) – координаты нормального вектора.

Рассмотрим частные случаи.

1) А ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 (т. е. вектор нормали n (A, B)), тогда уравнение примет вид

Ax + By = 0.

Эта прямая проходит через начало координат (0, 0).

2) А ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 (т. е. вектор нормали n (A, 0)), тогда

Ax + C = 0 или .

Эта прямая параллельна оси Oy (рис. 19).

3) А = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (т. е. вектор нормали n (0, B)), тогда

By + C = 0 или .

Эта прямая параллельна оси Ox (рис. 20).

4) А ≠ 0, B = 0, C = 0 (т. е. вектор нормали n (A, 0)), тогда

Ax = 0 или x = 0.

Это уравнение оси Oy.

5) А = 0, B ≠ 0, C = 0 (т. е. вектор нормали n (0, B)), тогда

By = 0 или y = 0.

Это уравнение оси Ox.

2. уравнение прямой в отрезках

Пусть задано общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0

и C ≠ 0, т.е. прямая не проходит через начало координат. Преобразуем уравнение следующим образом:

Ax + By = – C,

разделим уравнение на (– С), получим

,

перепишем дроби в виде:

;

обозначим и , получим

.

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

Установим смысл входящих в уравнение параметров, для этого дадим переменной х значение a, получим

=> => y = 0.

Значит, прямая проходит через точку с координатами (a, 0).

Пусть теперь y = b, уравнение примет вид

=> => x = 0.

Следовательно, прямая проходит через точку (0, b). Полученные точки (a, 0) и (0, b) представляют собой точки пересечения прямой с осями координат. Заметим, что параметры a и b могут быть как положительны, так и отрицательны, независимо друг от друга. Геометрический смысл их заключается в cледующем: a – это отрезок, который прямая отсекает по оси Ox от начала координат, a > 0, если отрезок отсекается в положительной части оси и a < 0 в другом случае; b – это отрезок, который прямая отсекает по оси Oy (рис. 21).

3. векторно-параметрическое и параметрические уравнения

прямой на плоскости

Прямая может быть задана однозначно не только с помощью нормального вектора, т. е. вектора, ей перпендикулярного. Прямая на плоскости задана однозначно, если известен вектор, параллельный прямой и начальная точка. Вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой и обозначается q (q ₁, q ₂).

Произвольная точка М (x, y) лежит на прямой только в том случае, если вектор коллинеарен вектору q, и, следовательно, найдется такое число t, что будет выполняться равенство

= t q.

Обозначим через r (x, y) – радиус-вектор точки М (x, y), через r ₀(x ₀, y ₀) – радиус-вектор точки М ₀(x ₀, y ₀), тогда = r – r ₀ и получаем

r – r ₀ = t q.

Это векторно-параметрическое уравнение прямой. В полученном уравнении участвуют вектора: q – направляющий вектор, r ₀ – радиус-вектор начальной точки, r – радиус-вектор произвольной точки прямой и параметр t. Запишем это уравнение через координаты соответствующих векторов:

r – r ₀ = (x – x ₀, y – y ₀), t q = (q ₁ t, q ₂ t),

следовательно,

(x – x ₀, y – y ₀) = (q ₁ t, q ₂ t).

Приравняем соответствующие координаты:

Получили параметрические уравнения прямой на плоскости, где (q ₁, q ₂) – координаты направляющего вектора, (x ₀, y ₀) – координаты начальной точки. Иногда эти уравнения записывают в виде

Рассмотрим частные случаи.

1) Пусть q ₁ = 0, q ₂ ≠ 0 (рис. 23), тогда

Учитывая, что t – произвольное число, то у принимает любые значения независимо от х, и прямая задается уравнениями:

2) Пусть q ₁ ≠ 0, q ₂ = 0 (рис. 24), тогда уравнения принимают вид

и, значит, х – любое и y = y ₀.

4. каноническое уравнение прямой на плоскости

Пусть прямая задана своим направляющим вектором q (q ₁, q ₂) и начальной точкой М ₀(x ₀, y ₀), предположим, что q ₁ ≠ 0, q ₂ ≠ 0. Из параметрических уравнений прямой вытекает

и ,