Методы приближенного вычисления пространственных интегральных характеристик

Вычисление ПИХ вида (7.7) эквивалентно задаче приближенного вычисления интеграла [27 – 30]

(7.8)

где и коэффициенты и абсциссы квадратурной формулы (7.8), выбираемые в зависимости от вида весовой функции и от применяемого правила численного интегрирования. Отметим, что верхний предел интегрирования в формуле (7.8) может быть в пределах

Можно рекомендовать следующий порядок выбора числа узлов п квадратурной формулы (7.8). Используя априорную информацию, задаем значения теплофизических свойств, геометрию образца, начальные и граничные условия, т.е. выбираем тепловой режим предполагаемого эксперимента. С учетом этого теплового режима в результате решения прямой краевой задачи теплопроводности находим функцию

,

определяющую распределение температуры по пространственной координате в момент времени . По заданной погрешности определения ПИХ находим число узлов квадратурной формулы (7.8), обеспечивающее требующуюся точность вычислений.

На практике интегральную характеристику (7.7) чаще всего вычисляют по квадратурной формуле

. (7.8а)

Абсциссы и коэффициенты в формуле (7.8а) выбирают в зависимости от ограничений, накладываемых конструкцией установки и режимом проведения эксперимента:

1) если возможно измерение температуры в нескольких произвольных точках по толщине исследуемого образца, то следует применять правила интегрирования, имеющие наивысшую степень точности [29, с. 34]; в справочнике [29] приведены таблицы, позволяющие выбрать значения абсцисс и коэффициентов формулы (7.8а);

2) если же измерения температуры производятся в нескольких равностоящих точках по толщине исследуемого образца (например, когда образец набирается из нескольких пластин одинаковой толщины, а между этими пластинами размещают термопары или термометры сопротивления), то удобно пользоваться правилом Ньютона-Котеса [29, с. 15]:

(7.8b)

где шаг между абсциссами ().

Численные расчеты показали, что относительные погрешности расчетов ПИХ зависят от характера и интенсивности процесса теплопереноса и, при применении правила Ньютона-Котеса (7.8b), в абсолютном большинстве случаев не превышают:

1,5 % при ;

1 % при ;

0,8 % при .

Наибольшая погрешность определения пространственной интегральной характеристики, как правило, соответствует [27] промежуткам времени, когда наблюдается резкое изменение градиента температуры по толщине исследуемого образца. В таких случаях для увеличения точности вычисления рекомендуется осуществлять дополнительные измерения температуры в одной или двух точках
(j = 1, 2) в той зоне образца, где наблюдается наибольшая величина температурного градиента [27].

Методика вычисления производной по времени

зависит от способа регистрации пространственной интегральной характеристики и может быть осуществлена одним из известных методов приближенного дифференцирования функций [27].