Напряжения по октаэдрическим площадкам

Выделим у точки А площадками, равнонаклоненными к главным площадкам, элементарный октаэдр (рис. 10). При уменьшении размеров октаэдра его грани, лежащие в накрест расположенных четвертях, соль­ются, и мы получим четыре пло­щадки, проходящие через точку А, называемые октаэдрическими.

Рис. 10

Вычислим нормальные и каса­тельные напряжения, действую­щие по октаэдрической площадке. Так как в главных осях 1, 2, 3 все три направляющих косинуса нормали к октаэдрической пло­щадке одинаковы, а сумма их квадратов равна единице, то

(1.11)

Подставляя эти значения в формулу (1.6) и учитывая инвариантность суммы нормальных напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам, находим нор­мальное напряжение по октаэдрической площадке

. (1.12)

Полное напряжение по октаэдрической площадке на осно­вании формул (1.1,a) и (1.4)

.

Касательное напряжение по октаэдрической площадке

.

Приведя подкоренное выражение к общему знаменателю, найдем

, (1.13)

или, с учетом выражения (1.10),

. (1.13,а)