Основные положения статистических решений (игры с природой)

До сих пор рассматривались игры, в которых противник «разумный», и мы можем не знать о выборе его действий. Второй вид неопределнности связан с неосознанными действиями противника(Он действует случайным образом).Рассмотрим в качестве второго игрока – природу: нефтегазовый пласт, при­родные (суша, море, климат и др.), геолого-технологические условия (пористость, проницаемость, высота кровли пласта и т.д.) и т.п., ко­торые активных действий не предпринимают, а неопределенность состоит в том, с какой вероятностью или шансами реализуются те или иные условия. Такие игры называются играми с природой (или теорией статистических решений).

Вначале упростим игру: в игре с приро­дой - пассивный игрок (природа) обычно обозначается как - П.

Суть игры состоит в том, что игроку А требуется выбрать такую чистую или смешанную стратегию, которая является более выгод­ной, чем остальные.

Предположим, что в платежной матрице мы имеем некоторые а_ij и a_kl такие что, аij>а_kl. При этом, выигрыш (а_ij) может быть больше второго (а_kl) не за счёт нашего выбора более удачной стратегии, а за счёт того, что состояние природы Пj выгоднее для нас, чем П_i, в этом смысл удачности стратегии. Введем дополнительные показатели, который описывали бы «удачность» или «неудачность» принятия данной стратегии в данной ситуации с учётом общей благоприятности ситуации. С этой целью вводится понятие риска.

Риском игрока А при использовании стратегии Аi в условиях Пj называется разность между выигрышем, который он получил бы, ес­ли бы знал Пj, и выигрышем, который он получает в тех же условиях, применяя стратегию A_i. Очевидно, если бы игрок знал заранее со­стояние природы П_i, он выбрал бы ту стратегию, которой соответст­вует максимальный выигрыш в данном столбце (максимум столбца j) - это βj. Тогда риск rij есть: rij= βi - а_ij = - а_i, где βj= , rij 0.

Введенное понятие риска является мерой благоприят­ности состояния природы.

Используются следующие критерии для принятия решений:

1. Наиболее просто задача о выборе решения решается в услови­ях, когда нам известны вероятности реализации состояний Пj и их вероятности Q(Пj). В этом случае за несколько партий мы получим среднее значение выигрыша (математическое ожидание): , где - взвешенное среднее.

Оптимальной стратегией = А_i будет та, которая удовлетворяет этому условию.

В результате задача сводится к поиску решения в среднем.

Средний риск:

Можно показать, что стратегия максимизации и минимизации одна и та же. В случае, когда известны вероятности Q₁, Q₂.... Q_n, при решении игры с природой всегда можно обойтись чистыми стра­тегиями, то есть: средний выигрыш это среднее взвешенное среднего выигрыша, соответствующее чистым стратегиям и:

Поэтому принятие смешанной стратегии игроком А не может быть выгоднее с любыми вероятностями П_i, чем применение чистой стратегии = А_i.

В теории игр с природой существует три подхода к определению aj:

а) Вероятности считаются субъективными и определяются экспертами. – принцип недостаточного основания Лапласа;

б) Располагают состояние природы (гипотезы) в порядке их правдоподобности, тогда:

1) - точечная оценка Фишбенa;

2) могут быть использованы матрицы парных сравнений и соответствующее ранжирование состояний природы;

в) существуют статистические данные о состоянии природы, на основе которых можно построить дискретный ряд вероятностей.

За оптимальное решение принимается та стратегия , которое дает средний максимальный выигрыш (минимальный суммарный риск). В целом, применение этого критерия о выборе решения в ус­ловиях неопределенности при рассмотренном подходе превращается в задачу о выборе решения в условиях определенности, только при­нятое решение является оптимальным не в каждом отдельном слу­чае, а в среднем.