Оценки хроматического числа

Поскольку задачу правильной раскраски точно ре­шить трудно, то актуальны оценки хроматического числа, выражаемые в терминах более или менее просто вычислимых параметров графа. Рассмотрим несколько оценок громатического числа, связанных со степенями вершин графа.

Обозначим через F множество всех порожденных подграфов графа G, а через δ(G), как обычно,—минимальную из степеней вершин графа G.

Теорема 54.1. Для любого графа G верно неравенст в о

Е> Утверждение теоремы очевидно для пустых графов, [усть G — произвольный χ –хроматический граф χ ≥ 2, а H — его минимальный порожденный подграф, удовлет­воряющий условию χ (Н) = χ. В этом случае χ (H — v) ≤ χ -1. Для любой вершины v графа Н.

Предположим, что deg _H v1 < χ — 1. Граф Н — v правиль­но раскрасим χ — 1 цветами. Окрасив затем вершину v в один из этих цветов, не использованный при окраске смежных с ней вершин, получим правильную (χ — 1 ) -рас­краску графа Н. Следовательно, deg _H v ≥ χ - 1 и

Как и ранее, через Δ(G) обозначим наибольшую из степеней вершин графа G.

Следствие 54.2. Для любого графа G верно нера­венство

Некоторое улучшение последней оценки дает сле­дующая

Теорема Брукса (1941 г.). Если G — связный граф не являющийся полным, и Δ (G)≥3, то χ (G) ≤ Δ (G).

Пусть Δ (G) — m>3. Очевидно, что максимальная степень вершин каждого блока графа G не превосходит m. Поэтому, с учетом теоремы 53.2, достаточно, не теряя общности, провести доказательство для двусвязных графов.

Пусть G — двусвязный граф. Сначала покажем су­ществование в графе G таких вершин и и v, что расстоя­ние d(u, v) равно 2 и граф G — u — v связен. Это очевид­но, если χ (G) ≥ 3.

Допустим, что χ (G)=2. Пусть D — множество всех доминирующих вершин графа G. Поскольку G не явля­ется полным графом, то I VG\D\ ≥ 2. Если D ≠ 0, то в ка­честве вершин и и v можнр взять любые две несмежные вершины из VG\D.

Пусть D≠ 0. Выберем в графе G вершину z степени не менее трех. Если граф G — z 2-связный, то в качестве вершины и возьмем z, а в качестве v — любую вершину, находящуюся от z на расстоянии 2.

Пусть χ(G — z) = 1, А и В — два концевых блока гра­фа G — z. Существуют две вершины и € А и v € B, не яв­ляющиеся точками сочленения графа G — z смежные с вершиной z, иначе оказалось бы, что χ (G)=l.

Легко видеть, что граф G — u — v связен. Действитель­но, удаление вершин и и v не нарушает связности блоч в A и B, поэтому граф G — u — v — z связен. Из того, deg z ≥ 3, следует теперь связность графа G — u — v. Итак, показано существование нужных вершин и и смежных с некоторой вершиной z'. Поскольку граф G — u — v связен, то его вершины можно так занумеровать числами 1, 2,..., п — 2, что каждая вершина, кроме =z' ', будет смежна по крайней мере с одной вершиной, имеющей меньший номер.

Теперь окрасим несмежные вершины и и v в цвет 1. Затем будем последовательно приписывать вершинам 2, z_n-3,..., z₁ один из цветов 1, 2,..., т по следующе­му правилу. Пусть к > 1 и верши­ны и, v, z_n-2, z_n-3 ,..., z₁ уже окрашены. Так как z_k смежна хо­тя бы с одной из вершин с мень­шим номером, то степень верши­ны z_k в порожденном подграфе G(u, v, z_n-2,..., z_n+1,z_k) меньше т. Вершине z_h присвоим любой цвет, не использованный при рас­краске смежных с ней вершин. Так же поступим и с вершиной z₁. Так как deg z₁ ≤ m и хотя бы две вершины из окружения вер­ны z₁ (и и v) окрашены в один цвет, то в множестве цветов (1, 2,..., т)существует цвет, не использованный в раскраске вершин из этого окружения. Этот цвет и припишем вершине z₁. Очевидно, что получена правильная m-раскраска графа G.

Оценка, устанавливаемая теоремой Брукса, достижима. Так, для кубического графа G, изображенного на 54.1, существует правильная 3-раскраска, а правильная 2-раскраска невозможна, ибо это не двудольный граф. Следовательно, χ(G)=3=Δ(G). Однако теорема может дать и завышенную оценку матического числа. Например, из этой теоремы следует, что χ (K1,n)≤n, в то время как χ(K1,n )=2. Две вершины графа называются соцветными относительно некоторой правильной раскраски, если при этой краске они имеют один цвет.

Следствие 54.3. При любой минимальной раскраске связного неполного графа существуют две соцветные относительно этой раскраски вершины, расстояние между орыми равно 2.

Пусть G — связный неполный граф. При χ = χ(G) =2 утверждение тривиально, так как в этом случае G является связным двудольным графом, имеющим не ме­нее трех вершин.

Если χ ≥ 3, то из предыдущей теоремы следует, что граф содержит хотя бы одну вершину v, для ко­торой deg v ≥ χ Поэтому среди смежных с v вершин найдутся по крайней мере две вершины, имеющие один цвет.

Следующая теорема связывает хроматическое число графа с числами его вершин и ребер.

Теорема 54.4 (А. П. Ершов, Г. И. Кожухин, 1962г.). Для любого связного (п, m)-графа G верны неравенства

(Напомним, что пара [ ] квадратных скобок означает целую часть числа, а пара { } фигурных скобок —дроб­ную часть.);

Докажем только правое неравенство (доказатель­ство левого громоздко).

Если G — полный граф, то неравенство проверяется непосредственно.

Пусть граф G не является полным и χ(G) = χ. Соглас­но следствию 54.3 при любой минимальной раскраске граф имеет пару соцветных вершин v1 и v2, для которых d(v1, v2) = 2. Построим граф G1, слив v1 и v2 в вершину v. Граф G1 имеет на одну вершину и по крайней мере на одно ребро меньше, чем граф G. Очевидно, что χ (G1)= χ В противном случае, правильно раскрасив χ1 цветами (χ1 < χ) Граф G1, можно было бы построить и χ 1-раскраску графа G. Для этого нужно было бы окрасить вершины v1 и v2 в цвет вершины v, а для остальных вер­шин сохранить их цвета в графе G1.

Операции слияния соцветных вершин будем произво­дить до тех пор, пока не получим полный граф K₁ Пусть таких слияний потребуется s. Так как по-прежнему χ(К₁) = χ, то l = χ = n-s.

Граф К₁ имеет l(l -1)/2 = χ (χ - 1)/2 ребер, т. е. на m- χ (χ — 1)/2 ребер меньше, чем граф G. Поскольку после каждого слияния число ребер графа уменьшалось хотя бы на единицу, то имеем

Поэтому, учитывай, что χ — п — s, получаем

Из последнего неравенства следует

Существуют графы, для которых оценки, установленные предыдущей теоремой, достигаются. Таковы, напримep, полные графы.

Ниже рассматриваются оценки хроматического числа, имеющие скорее теоретический интерес, поскольку параметры графа, с которыми они связаны, вычисляются столь же сложно, как и само хроматическое число.

Тривиальной нижней границей для хроматического числа является плотность. Очевидно, что χ(G) ≥φ (G) для любого графа G. На первый взгляд может показаться, что плотность графа тесно связана с его хроматическим числом, и если плотность φ (G) невелика, то невелико и χ(G). Однако на самом деле разность χ (G) — φ (G) может быть сколь угодно большим числом. А именно, верна следующая

Теорема 54.5 (А. А. Зыков, 1949 г.). Существуют графы без треугольников с произвольно большим хроматическим числом.

Для доказательства индуктивно построим последо­вательность S = (G₂, G₃ ,..., Gi,...) графов Gi без тре­угольников, таких, что χ (Gi) = i. Положим G₂ = K_2. Если граф Gi уже построен, i≥2 и VGi = {v₁, v₂,..., v_n }, то граф G_i+1 определим по следующему правилу: VG_i+1 = VGi U V' U v1, V'={v'₁,v'₂,...,v_n}, VG_i (\ V^f = ¢ v € VGi U V; каждую вершину vj соединим ребрами с те­ми вершинами из VG_t, с которыми смежна vi, в графе G_t; вершину v соединим ребрами с каждой вершиной из V’ (см. рис. 54.2 и 54.3, где изображены графы G₃ и G₄). Полученный таким образом граф имеет 2n + 1 вершин.

Покажем, что G_i+1 — искомый граф. Так как вершина v не смежна ни с одной вершиной из множества VG_{, а вершины из V’ попарпо не смежны, то никакой тре­угольник в G_i+1 не может содержать вершину v. По той же причине треугольник не может содержать более од­ной вершины из V’. Если же треугольник образовывали бы вершины v j, v_k, v_i то в графе Gi, вершины vj, v_k, v_i также составляли бы треугольник. Поскольку в графе Gi треугольники отсутствуют, отсюда следует, что в гра­фе G_i+1 их также нет.

Теперь докажем, что χ (G_i+1)= i+1. В самом деле, любую правильную i-раскраску графа G_i легко продол­жить до правильной (i+ 1) -раск раски графа G_i+1, поло­жив f(vj’) = f(vj) для j = 1, п и приписав вершппе v некоторый новый цвет. С другой стороны, если бы су­ществовала правильная i-раскраска графа G_i+1, то на

раскраску вершин из V’ понадобилось бы не более i — 1 цветов (отличных от цвета вершины v). Изменив окраску вершин графа G_t так, чтобы каждая вершина vj получила тот же цвет, что и vj’, можно было бы построить правиль­ную (i—1)-раскраску графа G_i+1 в то время как χ(Gi) = i

Таким образом, доказано, что граф G_i+1 не содержит треугольников и χ (G_i+1) = i + 1.

Заметим, что графы, существование которых гаранти­руется предыдущей теоремой, являются экзотическими, поскольку для почти каждого графа G верно следующее утверждение: если φ(G) ≤ k, то и χ (G) ≤:k (Ф.Колайтис, X.Прёмель, В.Ротшильд, 1987 г.).

Как показывает теорема 54.5, графы с плотностью, равной 2, могут иметь сколь угодно большое хроматичес­кое число. Следующая теорема, приводимая здесь без до­казательства, свидетельствует об отсутствии связей меж­ду хроматическим числом и обхватом графа.

Теорема 54.6 (П. Эрдёш, 1961 г.). Для любых на­туральных чисел l и χ существует χ -хроматический граф, обхват которого превосходит l.

Оценим хроматическое число в терминах числа неза­висимости.

Теорема 54.7. Для любого графа G верно

При любой минимальной раскраске множество VG разбивается на χ цветных классов V1, V2,..., V_n, каждый из которых является независимым множ еством. Поэтому ели / Vi/ = n i, то ni ≤ ао для всех i — 1, χ, и

откуда следует левое из неравенств (1).

Перейдем к доказательству правого неравенства. В графе G есть независимое множество вершин S, содер­жащее ровно ао элементов. Так как \G — S\=n — ао, то, (G — S) < п — ао и, следовательно, χ < n — ао + 1.

Следствие 54.8. Если G — связный граф, не являющйся полным, и Δ (G) ≥ 3, то

Рассмотрим последовательность неравенств

Первое из неравенств вытекает из предыдущей теоремы, а второе — из теоремы Брукса.

Дополнением теоремы 54.7 является

Теорема 54.9. Для любых натуральных чисел n, ао и χ, удовлетворяющих неравенствам (1), существует граф порядка п с числом вершинной независимости ао и хро­матическим числом χ.

Рассмотрим отдельно три случая:

1) ао = 1; 2) ао>1 и n = aol, где l — целое число;3) п не крат­но ао.

1) Из (1) следует, что χ = п, и К_п — нужный граф, так как а_о(К_п)= 1 =а₀, χ (K_n) = n = χ.

2) Пусть G — полный l- дольный граф, в каждой доле которого ровно ао вершин. Тогда i(G) = l = n/ao. Фикси­руем некоторую долю U и каждую из не входящих в эту долю вершин будем последовательно превращать в доми­нирующую, добавляя недостающие ребра. На каждом таком шаге хроматическое число возрастает на 1. В результате придем к полному (п — ао+ 1) -дольному графу F, все доли которого, кроме доли U, одновершинные. Очевидно, что χ (F)= n — ao+i.

3) Если п не кратно ао, то в качестве исходного графа берется n-вершинный полный ([п/ао] + 1) –дольный граф, [п/ао] долей которого содержат по ао вершин. Выбрав в качестве U одну из таких долей, дальнейшие рассуждения проведем так же, как в случае 2. Естественный интерес вызывает стремление уточнить оценку хроматического числа, устанавливаемую теоре­мой Брукса. О. В. Бородин и А. В. Косточка в 1977 го­ду выдвинули следующую гипотезу, пока не доказан­ную и не опровергнутую:

Гипотеза. Если Δ (G) ≥ 9 и φ(G) ≤ Δ (G), то χ (G) ≤ Δ (G)-1.

Приведем без доказательства теорему, дающую асимп­тотику хроматического числа.

Теорема 54.10 (А. Д. Коршунов, 1980 г.). Хрома­тическое число почти каждого графа G порядка п удов­летворяет соотношению

. § 55. Хроматический полином

Поскольку t-раскраской графа G является произволь­ное отображение вида VG->{1, 2,..., n}, то число по­парно различных t-раскрасок этого графа равно числу всех таких отображений, т. е. tⁿ, где n=\VG\. Но если ограничиться только правильными раскрасками, то вопрос о числе различных среди них становится сложным. Ко­личество попарно различных правильных t-раскрасок графа G называется хроматической функцией графа G и обозначается через f(G, t).

Очевидно, что наименьшее из чисел t, для которых f(G, t)≠0, есть χ (G).

Для некоторых графов хроматическая функция опре­деляется совсем легко. Например, f (О„, t) = tⁿ, так как цвета всех вершин пустого графа можно выбирать неза­висимо друг от друга. При правильной раскраске пол­ного графа К_п первая вершина может иметь любой из t заданных цветов, а для окраски каждой из последующих вершин разрешается использовать
на один цвет меньше, чем для предыдущей. Поэтому f(K_n, t) = t(t—l)....,(t—n+ 1). Итак, имеем

В общем случае, как отмечалось выше, вычисление хроматической функции сопряжено с большими трудно­стями. Приведем несколько утверждений, позволяющих упрощать ее вычисление.

Утверждение 55.1. Если G = G1 U G2 U... U G_k — дизъюнктное объединение графов, то

Это утверждение вытекает из того, что раскраска каждой из компонент G_t может выбираться незави­симо.

Утверждение 55.2. Если G = Gi U G₂ и графы G1 и G₂ имеют только одну общую вершину, то

Фиксируем какую-либо правильную раскраску ƒ1 графа G1. Для продолжения ее до правильной раскраски графа G нужно взять такую правильную раскраску f₂ графа G₂, при которой цвет f₁(v) вершины v, общей для графов G1 и G₂, равен цвету f₂(v). Поскольку число правильных t -раскрасок графа G₂, при которых цвет вер­шины v фиксирован, не зависит от этого цвета, то для выбора раскраски f₂ имеется f(G₂, t)/t возможностей, откуда и следует равенство (1).

Утверждение 55.3. Пусть и и v — две несмежные вершины графа G. Если G1 = G + uv, a G₂ получается из графа G в результате слияния вершин и и v, то f(G,t) = f(G₁ t) + f(G₂,t).

Число правильных t-раскрасок графа G, при кото­рых цвета вершин и и v различны, не изменится, если к G присоединить ребро uv. Следовательно, это число равно f(G1, t). Аналогично, число правильных f-раскрасок графа G, при которых цвета вершин и и v совпада­ют, равно f{G₂, t). Складывая эти два числа, получим число всех правильных f-раскрасок графа G, т. е. f(Gj).

Предыдущее утверждение позволяет свести вычисле­ние функции f (G, t) произвольного графа G к вычисле­нию хроматических функций графов с большим числом ребер или с меньшим числом вершин, и следовательно, в конце концов,— хроматических функций полных гра­фов. К сожалению, число этих графов может оказаться катастрофически большим.

Очевидно

Следствие 55.4. Хроматическая функция любого графа G равна симме хроматических функций некоторого числа полных графов, порядки которых не больше, чем \G\.

Поскольку f(K_n, t) — полином от t, то верно

Следствие 55.5. Хроматическая функция f(G, t) любого графа является полиномом от t.

Поэтому хроматическую функцию f(G, t) обычно на­зывают хроматическим полиномом графа G.

Найдем с помощью утверждения 55.3 хроматический полином графа G, изображенного на рис. 55.1. При этом

вместо f(G, t) = f(G₁ t) + f(G₂, t) будем писать G = G1 + G 2 или рисовать соответствующие графы. На пер­вом шаге получим ситуацию, представленную на рис. 55.2. Далее см. рис. 55.3. Итак,

Используя утверждение 55.3, можно уточнить вид хроматического полинома. Следующую теорему предла­гаем доказать самостоятельно.

Рис. 55.3

Теорема 55.6. Хроматический полином любого (п, т)-графа G, содержащего ровно k связных компо­нент, имеет вид

где а_{ —целые неотрицательные числа.

Несомненный интерес представляет следующий во­прос, ответ па который пока не получен: каким условиям должен удовлетворять полином, чтобы он был хромати­ческим полиномом некоторого графа? Любопытно было бы найти условия, при которых хроматические полино­мы графов совпадают. Примерами таких графов являют­ся деревья, которые можно определить в терминах хро­матических полиномов.

Теорема 55.7. Граф G порядка п является деревом тогда и только тогда, когда

Докажем только необходимость условия теоремы, адостаточность оставим читателю в качестве упражне­ния. Пусть G — дерево порядка п. Воспользуемся индук­цией по п. При п =1 имеем G = K1, f (G, t) = t, при n = 2 — G = K₂, f (G, t) = t(t — 1). Следовательно, при п = 1,2 равенство (2) верно. Предположим теперь, что это равенство верно для любого дерева G порядка m, 2 ≤ m < п, и рассмотрим дерево Т порядка п. Если и — концевая, a v — смежная с ней вершины дерева Т, Т1 = T (u, v), Т₂ = Т - и,то

и по индуктивному предположению f(T₂, t) = t (t — l) ^n-2. Применяя затем утверждение 57.2, получаем