Оптимальные свойства статистических оценок

Оценивание – это определение вероятностей случайных событий, числовых характеристик и параметров законов распределения случайных величин и т.п. Для оценки числовых характеристик знание закона распределения не требуется, а для оценки параметров закона, его естественно необходимо знать. Если закон известен, то по параметрам легко рассчитать числовые характеристики и, наоборот, по числовым характеристикам – параметры закона.Задача опреде­ления статистических оценок состоит в нахождении наилучших значений, воз­можно меньше отличающихся от неизвест­ных фактических величин. Оптимальные статистические оценки обладают свойст­вами состоятельности, несмещенности и эффективности.Статистическую оценку q ^* называют состоятельной, если она при безграничном увеличении числа наблюде­ний n сходится по вероятности к неизвестному значению параметра q при n®¥ P( | q ^*- q |< e)>1-d, где e, d – сколь угодно малые величины. При ограниченном объёме наблюдений оценка не должна иметь систематической ошибки – это свойство называют несмещённость, т.е. математическое ожидание оценки должно совпадать с неизвестным значением параметра M(q ^* )=q. Эффективность оценки состоит в том, что дисперсия или среднее квадратическое отклонение случайных отклонений от неизвестного значения параметра имеет минимально возможное значение D(q ^* )®min.

Оптимальные оценки принято называть точечными, так как они не показы­вают, насколько сильно фактические неизвестные значения пара­метров q могут отличаться от найденных значений q ^*.

7. Оценка надежности по результатам испытаний, виды испытаний.

Существует множество подходов и методов получения приближенных оценок показателей надежности. В каждом конкретном случае выбор методов определяется структурой системы, характером процесса отказов – восстановлений, дисциплиной обслуживания, точностью исходных данных и теми мероприятиями, которые предлагается предпринять по результатам расчета. На первом этапе расчета упрощают математическую модель системы. Примером такого упрощения является замена облегченного резерва нагруженным и ненагруженным. В первом случае получается оценка надежности снизу, во втором – сверху. Часто в расчетах надежности резервированных систем не учитывают надежность переключающих устройств. В этом случае получаются оценки надежности сверху, что нежелательно, однако для сравнительных оценок такой прием может быть вполне допустимым.

Для описания процесса отказов – восстановлений используют марковскую модель. Если элементы имеют стареющий закон распределения и время работы не превосходит математическое ожидание, то оценки показателей надежности получаются снизу.

При исследовании надежности систем со сложной структурой резервирования используются различные методы упрощения фазового пространства состояний, наиболее распространенным из которых является метод минимальных путей и минимальных сечений.

Идея метода состоит в том, что система с произвольной структурой приводится к последовательно- параллельной схеме минимальных путей или к параллельно-последовательной схеме минимальных сечений.

Минимальный путь – это множество элементов, работоспособное состояние которых обеспечивает работоспособное состояние системы, причем никакое подмножество этого множества таким свойством не обладает. Минимальное сечение – это множество элементов, отказ которых приводит к отказу системы, и никакое подмножество этого множество таким свойством не обладает

При оценке надежности высоконадежных систем применимы различные методы упрощения, основанные, в частности, на разложении зависимостей в ряд и использовании первых членов ряда, а также другие асимптотические методы. Для схемы, представляющей собой последовательное соединение n элементов при Qc<<1

n n

Qc =1-П (1-Qi)» å Qi, причем оценка ненадежности системы получается сверху и ее

i=1 i=1 относительная погрешность не превышает величину

d=(n-1)/2*Qmax, Qmax= max_i(Qi).

8. Оценка показателей надежности методом статистических испытаний (Монте-Карло).

Суть метода Монте-Карло состоит в следующем. Создаётся модель процесса функционирования (отказы, восстановления, профилактика) исследуемой системы, алгоритм и компьютерная программа, имитирующие этот процесс. Проводятся многократные имитационные эксперименты (их также называют розыгрыши или прогоны) и накапливаются статистические данные о траекториях процесса. На основе полученных данных методами математической статистики определяются показатели надёжности системы

Особенность метода Монте-Карло заключается в том, что получаемые статистические оценки искомых параметров случайны. В соответствии с предельными теоремами теории вероятностей при бесконечном числе испытаний они сходятся по вероятности к искомым параметрам.

. Основу алгоритмов моделирования составляет датчик случайных чисел (ДСЧ).

На программных ДСЧ можно получать многократно воспроизводимую псевдослучайную последовательность чисел. Это позволяет осуществлять зависимые испытания и тем самым повышать относительную точность оценок надёжности для сравниваемых вариантов построения системы.

Ещё одна важная область применения метода Монте-Карло связана с тем, что в отличие от реальных испытаний нам известно, какие исходные данные мы заложили в модель, т.е. «истинные» показатели надёжности. Это позволяет оценивать точность используемых приближённых моделей, аналитических и статистических методов

Основными направлениями ускорения моделирования являются:

- комбинирование статистического моделирования с аналитическими методами (аналитико-статистический метод); недостаток метода заключается в необходимости разработки для каждого класса систем специализированных аналитических моделей;

- метод эквивалентного преобразования модели путём форсирования событий отказов, при этом необходимо соблюдение принципа подобия;

- для отказоустойчивых систем методы исключения из розыгрышей заведомо неотказовых реализаций, в частности, метод расслоения выборок по числу отказов; этот метод предполагает также использование аналитических моделей.

Аналитико-статистический метод. для этого метода не существует общего алгоритма моделирования

Метод эквивалентного преобразования модели. непосредственно применим к невосстанавливаемым системам.

Метод расслоения выборок по числу отказов. Этот метод наиболее эффективен для моделирования надёжности сложных отказоустойчивых систем, в том числе с восстановлением Для повышения его эффективности можно одновременно использовать форсирование интенсивности отказов, аналитический расчёт вероятностей расслоенных выборок, при этом не требуется разрабатывать специальные математические модели.

Идея метода состоит в исключении из розыгрыша заведомо неотказовых реализаций, в которых число отказов элементов не превышает порог отказоустойчивости d.