Правила Де-Моргана

Правила Де-Моргана позволяют переходить от конъюнкции к дизъюнкции и наоборот.

В предыдущей строке показана типичная ошибка, когда полагают, что произведение инверсий равно инверсии произведения этих же переменных.

Закон поглощения

х₁+х₁×х₂ = х₁(1+х₂) = х₁×1 = х₁х₁ "поглощает" х₂

9. Операции алгебры логики. Элементарные логические функции

• Логическое отрицание {инверсия).

Обозначается:?А, A, not А, не А.
Высказывание А истинно при ложном А и А ложно при истинном А.

• Логическое умножение {конъюнкция).

Обозначается А&В, A and В, А*В, А^В, АВ, А и В.
Высказывание А ^ В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

• Логическое сложение {дизъюнкция).

Обозначается: A v В, A or В, А + В, А или В.
Высказывание A v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.
Остальные операции алгебры логики выражаются через первые три опе­рации: отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. Перечислим их.

• Логическое следование {импликация).

Обозначается: А > В, А => В.
Высказывание А > В ложно только тогда, когда А истинно, а В ложно.
Важно: в операции импликации посылка А не обязана быть истинной, в отличие от логического оператора в языках программирования «если А, то В».
Импликация выражается через дизъюнкцию и отрицание: А => В = A v В.

• Эквивалентность (равносильность, необходимо и достаточно).

Обозначается: А ~ В, А <=> В, А = В.
Высказывание А <=> В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.
Эквивалентность выражается через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: А <=> В = (А v В) ^ (B v А).

• Исключающее ИЛИ.

Обозначается A XOR В.
Высказывание A XOR В истинно, когда А и В не равны.

Порядок исполнения операций задается круглыми скобками. При отсутствии скобок порядок выполнения операций следующий: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.
Формула алгебры логики (или составное высказывание) состоит из нескольких высказываний, соединенных логическими операциями. Исходные высказывания могут быть логическими переменными или логическими константами (имеющими постоянное значение ИСТИНА или ЛОЖЬ).
Логическая функция определяется на множестве логических переменных и логических констант, принимающих значение ИСТИНА или ЛОЖЬ. Значение функции вычисляется в результате выполнения логических операций с (или над) логическими операндами. Например:

F (А, В, С) = А ^ (В v С); F(x1, х2, х3) = x1 v х2 ^ х3

Логическую функцию можно задать двумя способами: логической формулой или таблицей истинности.

Таблица истинности задает значения функции при всех возможных наборах ее переменных.