Классификация систем линейных уравнений. Решение системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными. Метод Гаусса, метод Крамера, матричный метод

Системы уравнений бывают:

§ Равносильными называются две системы уравнений, если они имеют одно и тоже множество решений.

§ Совместной называется система уравнений, если она имеет хотя бы одно решение.

§ Несовместной называется система уравнений, если она не имеет ни одного решения.

§ Определенной называется система уравнений, если она имеет единственное решение.

§ Неопределенной называется система уравнений, если она имеет бесконечное множество решений.

Решение при помощи обратной матрицы:

Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

.

Решение. С помощью первого уравнения нужно исключить из последующих уравнений переменную .

Шаг 1. Чтобы с помощью первого уравнения исключить переменную к последующим уравнениям прибавим первое, умноженное на -1. Получим систему

.

Шаг 2. Оставляя без изменения первое уравнение новой системы, с помощью второго исключаем переменную из последующих уравнений. Для этого к третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на 3/5, а к четвёртому – второе, умноженное на 7/5. В результате получим систему

.

Шаг 3. Сохраняя первые два уравнения новой системы, с помощью третьего уравнения исключаем переменную из последнего уравнения. Для этого к четвёртом уравнению прибавим третье, умноженное на -6/4. В результате приходим к системе треугольной формы:

.

Последнее уравнение превратилось в уравнение вида . Это уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных и его можно отбросить.

Чтобы удовлетворить третьему уравнению, можем для выбрать произвольное значение . Тогда значение для определится так:

; далее:

;

.