III. Описание экспериментальной установки и метода измерения. Одним из наиболее простых методов определения момента инерции является динамический метод, основанный на применении к вращающемуся телу закона сохранения

Одним из наиболее простых методов определения момента инерции является динамический метод, основанный на применении к вращающемуся телу закона сохранения энергии.

Рассмотрим систему, состоящую из махового колеса (1) и шкива (2), насаженных на одну ось, закрепленную в подшипниках (рис. 1).

На шкив намотана нить, к свободному концу которой подвешен груз массой т (7). Груз т поднят на высоту H ₁ (за начало отсчета высоты H ₁ принято низшее положение груза).

В таком положении полная энергия системы определяетсязапасом потенциальной энергии поднятого груза.

(3)

Если представить возможным падение груза, то он будет обладать кинетической энергией:

(4)

где V — скорость падения груза.

Вращающаяся система так же будет обладать кинетической энергией:

(5)

где — угловая скорость системы.

Кроме того, в подшипниках возникает сила трения, работа по преодолению которой:

(6)

где — сила трения в подшипниках.

Рис. 1

Потенциальная энергия E _п расходуется на увеличение кинетической энергии системы и на совершение работы по преодолению силы трения A.

По закону сохранения энергии:

(7)

Уравнение (7) справедливо для самого низкого положения груза. Когда груз дойдет до нижней точки, маховое колесо по инерции будет продолжать вращение и груз поднимается навысоту . На высоте система будет обладать потенциальной энергией:

(8)

Убыль потенциальной энергии , равна работе сил трения.

Учитывая (3), (8) и работу по определению сил трения на пути ; получим уравнение:

откуда сила трения равна:

(9)

Преобразуем уравнение (9) и получим формулу для определения момента инерции. При падении груза с высоты система участвует в равноускоренном движении, а, следовательно:

(т.к. ), (10)

где а — ускорение движения; t — время, в течение которого изменяется скорость V, т.е. время опускания груза. С другой стороны:

(11)

из (11) следует, подставив в (10):

(12)

Угловая скорость

, (13)

где r — радиус шкива.

Подставляя (12) в (13) получим:

(14)

Подставим (9), (12) и (14) в уравнение (7) и, решая его относительно J, получим:

(15)