Функции комплексной переменной

Определение и геометрический смысл. На расширенных комплексных плоскостях (z) и рассмотрим множества и .

Определение 9. Если каждому комплексному числу по закону f определяется комплексное число , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменной .

При этом называется зависимой переменной или образом z, а независимой переменной или прообразом или .

Задание комплексной функции эквивалентно заданию двух действительных функций действительного переменного и следующим образом:

,

где - действительная часть функции, а - её мнимая часть.

Если каждому значению соответствует только одно значение w, то функцию однозначной, а если несколько значений, то многозначной.

При заданном отображении, может оказаться, что двум произвольным различным прообразам соответствуют разные образы . Тогда говорят, что функция осуществляет однолистное отображение или другими словами взаимно-однозначное отображение. При таком отображении можно говорить об обратном отображении, т.е. функции . В случае просто однозначного отображения также можно говорить о существовании обратной функции, но она не будет однозначной. Например, функция не является взаимно-однозначной, т.к. при этом отображении все точки, лежащие на окружности c центром в начале координат, будут соответствовать одному образу w.

Геометрический смысл функции комплексного переменного заключается в том, что ее можно представить как отображение области комплексной плоскости ()на область комплексной плоскости ().

Рис.4.

Разберем на примере функции понятие римановой поверхности. Пусть , тогда и Действительные функции непрерывны и однозначны,поэтому однозначной будет и комплексная функция .Пусть теперь , тогда .

Из последнего следует, что точки, лежащие в плоскости () на окружности на плоскости () перейдут в точки, лежащие на окружности . Точки, лежащие на луче перейдут в точки, лежащие на луче . Покажем, что точки и лежащие в разных полуплоскостях, на плоскости () перейдут в одну точку.

Для точки и . Подставим в :

= = ,следовательно .

Две точки, расположенные симметрично относительно начала координат на плоскости (), отображаются в одну точку. Для обратной функции это означает, что одному значению соответствует два значения . В этом случае говорят, что функция является многозначной. Для точек верхней полуплоскости, аргументы которых лежат в пределе от 0 до π , аргументы образов в интервале от 0 до 2π , т.е. верхняя полуплоскость отобразится в во всю комплексную плоскость с разрезом по действительной оси. Нижняя полуплоскость плоскости () при отображении , отобразится также во всю комплексную плоскость (), причем верхний край разреза соответствует отрицательной полуоси, а нижний положительной полуоси плоскости().

Для геометрической интерпретации такой неоднозначности используются римановы поверхности. Рассмотрим два листа плоскостей и мысленно проведем склейку нижнего края верхнего листа с верхним краем нижнего листа. В результате получим так называемую риманову поверхность функции (рис.5). Точки верхнего листа будут соответствовать верхней полуплоскости , а точки нижнего листа- нижней полуплоскости. Если на римановой поверхности рассматривать обратную функцию , то на такой поверхности функция будет однозначной.

Рис.5.

По формуле извлечения корня мы можем записать: , т.е. получаем два значения , которые называются ветвями многозначной функции. Каждая ветвь соответствует своей поверхности. Точка z, в окрестности которой при однократном обходе по замкнутому контуру одна ветвь многозначной функции переходит в другую ветвь, называется точкой ветвления. Для нашей функции таких точек две: z= 0 и z=∞. Таким образом, функция двузначна во всех точках плоскости, кроме точек z= 0 и z=∞, в которых она однозначна.

Предел и непрерывность. Пусть функция определена на некотором множестве предельная точка этого множества.

Определение 10. Комплексное число А называется пределом функции в точке , если ,сходящейся к точке , последовательность . Обозначение: .

Отметим, что предел функции не зависит от способа стремления к .В терминах формулировка следующая: А является пределом в точке , если >0 >0 из неравенства < следует неравенство <ε.

Учитывая,что , то существование предела функции комплексного переменного равномерно существованию двух пределов:

и ,

где .

Из последнего следует, что для функции комплексного переменного справедливы свойства суммы, разности, произведения и частного пределов по аналогии с пределом функции действительного переменного.

Определение 11. Пусть функция определена в некоторой окрестности . Тогда, если существует и равен значению функции в этой точке , то функция называется непрерывной в точке .

В терминах : > 0 >0, если < , то <ε.

Определение 12. Если функция , заданная на множестве D непрерывна во всех точках этого множества, то говорят, что непрерывна на множестве D.

Учитывая, что из непрерывности функции комплексного переменного следует непрерывность ее действительной и мнимой частей функции u и v по совокупности своих переменных х и у и наоборот.

Это означает, что для функции комплексной переменной справедливы свойства непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций.

Элементарные функции комплексной переменной. Под элементарными функциями будем понимать следующие функции:

-линейная функция, где а и b - комплексные числа;

-дробно-линейная функция;

(n -целое действительное число)-степенная;

-многочлен;

= рациональная;

а также показательная, логарифмическая, тригонометрические и гиперболические функции, которые сейчас определим.

Показательную функцию определим с помощью равенства

.

Символ обладает свойствами показательной функции, поэтому очевидны следующие свойства функции :

Покажем, что эта функция имеет чисто мнимый период 2πi. Действительно, Из определения видно, что модуль показательной функции равен , а аргумент равен y.

Логарифмическую функцию определим как обратную к показательной. Натуральным логарифмом, обозначаемым , комплексного числа z называется показатель степени w, в которую надо возвести число e, чтобы получить число z, т.е.

Воспользуемся показательной формой записи и подставим:

,

Приравнивая модули и аргументы, получим

;

т.е.

;

следовательно,

или

.

Выражение называется главным значением натурального логарифма числа z. Логарифмическая функция многозначная, т.к. одному значению z соответствует множество значений w и при k=0 имеет место главное значение логарифма.

Тригонометрические и гиперболические функции определяются с помощью показательной функции следующими равенствами:

Нетрудно показать, что для этих функций справедливы тригонометрические формулы и соотношения между гиперболическими функциями вещественной переменной.

Обратные тригонометрические функции определяются как функции, обратные соответственно тригонометрическим функциям и выражаются через тригонометрические функции по формулам:

Обратные тригонометрические функции являются многозначными функциями и их главные значения arcsinz, arccosz, arctgz. arcctgz получаются, если брать главные значения соответствующих логарифмических функций.

Пример 2. Вычислить

□ Воспользуемся формулой Тогда

Дифференцирование функций комплексной переменной. Пусть функция f(z) определена в области D и ,

Определение 13. Если существует предел отношения при произвольным образом, то этот предел называется производной функции по комплексной переменной z в точке и обозначается:

При этом f(z) называется дифференцируемой в точке .

Определение 14. Функция называется дифференцируемой в области D,если она имеет производную в каждой точке этой области.

Отметим, что условие независимости способа стремления является довольно жестоким требованием и даже простые функции могут ему не соответствовать. Например, рассмотрим функцию и найдем предел разности отношения в двух случаях: ,

т.е. функция не дифференцируема, т.к. предел зависит от способа стремления к нулю.

Так как определения производной и предела формально совпадают с соответствующим определением из математического анализа. то если функции f(z) и g(z) дифференцируемы, то для них справедливы формулы дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции.

Определение 15. Однозначная функция комплексного переменного f(z) называется аналитической в области D, если она имеет непрерывную производную во всех точках этой области.

Требование аналитичности функции f(z) в области D накладывает весьма важные условия на действительную и мнимую части функции в этой области.

Теорема 4. Для того, чтобы функция комплексного переменного была аналитической в области D необходимо и достаточно существование в этой области непрерывных частных производных функций и по своим переменным x и y и выполнялись условия Коши-Римана:

(1)

В случае выполнения условий Коши-Римана производная может быть представлена по одной из следующих формул:

(2)

□ Необходимость. Пусть f(z) аналитическая в области D функция, т.е. в каждой точке существует непрерывная производная

Так как предел не зависит от стремления к нулю, то выбирая , получаем, что

т.е. (3)

Аналогично, выбирая найдем

т.е.

. (4)

Сравнивая (3) и (4), имеем

Непрерывность частных производных есть следствие непрерывности производной

Достаточность. Пусть частные производные непрерывны в области D и удовлетворяют условиям (1). Тогда полные приращения функций представляются в виде:

(5)

и

, (6)

где бесконечно малые более высокого порядка, чем (7)

Используя представления(5) и (6), находим

И принимая во внимание равенства (1), получаем соотношение:

Учитывая (7), имеем

Поэтому существует предел отношения при , т.е. существует производная , причем

.

Производные и по условию непрерывны в области D, а это означает, что и производная непрерывная, а следовательно функция аналитическая в области D. ■

Часто условия Коши-Римана удобнее использовать в не через декартовы координаты, а через полярные координаты. Применяя правила дифференцирования сложной функции к функциям

и используя (1) нетрудно получить и условия Коши-Римана в полярных координатах:

Можно показать, что значение производной в этом случае можно записать в следующем виде:

Пусть функция является аналитической в области D. Продифференцируем первое равенство Коши-Римана по x, а второе по y:

.

Сложим и получим: (8)

Аналогично, дифференцируя первое по y, а второе по x, получим:

(8а)

Если обозначить оператор Лапласа, то уравнение Лапласа будет иметь вид

Определение 15. Действительная функция u(x,y), имеющая в области D производные до второго порядка включительно и удовлетворяющая уравнению (8), называется гармонической в области D, а уравнение (8) называется уравнением Лапласа.

Из равенств (8) и (8а) следует, что действительная и мнимая части аналитической функции f(z) являются гармоническими функциями.

Определение 16. Гармонические функции u(x,y) и v(x,y), связанные между собой условиями Коши-Римана, называются сопряженными гармоническими функциями.

Очевидно, что уравнение Лапласа имеет бесчисленное множество решений и существует бесчисленно много гармонических функций. Так, действительная и мнимая части любой аналитической функции комплексного переменного являются сопряженными гармоническими функциями.

Теорема 5. Для всякой гармонической функции u(x,y) можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию, которая определяется с точностью до постоянного слагаемого.

□ Уравнение Лапласа (8) можно переписать в виде: . Используя условия Коши-Римана, с учетом выражения для полного дифференциала можно записать: .

Пусть некоторая фиксированная точка в D, а текущая точка. Восстанавливая функцию v по ее дифференциалу, получим: (9)

Таким образом, получили формулу для нахождения сопряженной гармонической функции. Интеграл не зависит от способа выбора точки z₀ и кривой, соединяющей ее с текущей точкой. ■

На практике для нахождения сопряженной гармонической функции можно пользоваться формулой (9), но чаще используют условия Коши-Римана.

Пример 3. Дана функция .Найти сопряженную с ней функцию.

Решение. Во-первых, проверим, что функция является гармонической. ;

Откуда, .

Т.к. по условиям Коши-Римана: то

из первого условия получим

а из второго условия

Откуда

.