Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Решение. б) угол В в треугольнике АВС есть угол между векторами и

а) ;

б) угол В в треугольнике АВС есть угол между векторами и . Имеем , , , ,

;

в) , , ,

,

отсюда находим

;

г) .

Направляющими косинусами вектора являются 2/3, –2/3, –1/3.

Векторным произведением упорядоченной пары неколлинеарных векторов а и b называется вектор c, удовлетворяющий следующим трём требованиям:

1) , где j – угол между векторами а и b;

с перпендикулярен каждому из векторов а и b;

а, b, с образуют правую тройку.

Векторное произведение принято также обозначать .

Теорема 5. a) равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и b; б) а ´ b = – b ´ a; в) а ´ (b + c) = а ´ b + + а ´ c; г) (l а) ´ b = l(а ´ b).

Теорема 6. Если , , то ,

или, в символической записи,

.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов а, b, с называется число (a ´ b) с; смешанное произведение векторов а, b, с обозначается(а, b, с).

Теорема 7. а) а, b, с компланарны в том и только в том случае, если (а, b, с)= 0;

б) для некомпланарной тройки векторов а, b, с (а, b, с) > 0 в том и только в том случае, если а, b, с образуют правую тройку, и (а, b, с) < 0 в том и только в том случае, если а, b, с образуют левую тройку;

в) |(а, b, с)| равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах а, b, с;

г) (а, b, с) = (b, c, a) = (c, a, b) = –(b, a, с) = –(а, c, b) = –(c, b, a).

Теорема 8. Если , , , то

.

Пример 3. Даны точки A(4;–1;3), B(0;1;2), C(3;–2;5), D(1;–1;1). Найти: а) площадь треугольника АВС; б) высоту треугольника АВС, опущенную из вершины А на сторону ВС;

в) объём пирамиды АВСD.

Решение. а) Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма S, построенного на векторах и , т.е. . Имеем , ,

;

б) ; , ; .

в) Объём пирамиды АВСD равен объёма параллелепипеда, построенного на векторах . Имеем , , ;

.

2. Прямая на плоскости

Прямая на плоскости, в которой определена прямоугольная система координат, может быть задана следующими уравнениями:

Ax + By + C = 0 – общее уравнение;

y = kx + b – уравнение с угловым коэффициентом (k – угловой коэффициент – есть тангенс угла наклона прямой к оси 0x);

– каноническое уравнение (прямая проходит через точку M(x0; y0) параллельно вектору – направляющему вектору прямой);

A(x – x0) + B(y – y0) = 0 – уравнение прямой, проходящей через точку M(x0; y0) перпендикулярно вектору – нормали прямой;

– уравнение прямой, проходящей через точки
M1(x1; y1), M2(x2; y2).

Уравнение прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку
(a; 0), имеет вид x = a.

Пример 4. Составить уравнения прямых: а) AB; б) BC; в) CD.

Решение. а) АВ параллельна 0y, поэтому её уравнением будет x = 1.

б) Составим уравнение ВС как прямой, проходящей через точки B(1; 3), C(5; 1):

‑ 2x + 2 = 4y – 12; .

в) Прямая СD параллельна 0x, поэтому уравнением СD является y =1.

3. Полярная система координат

Полярная система координат определяется заданием точки 0, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча 0А, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длины.

Каждой точке М на плоскости ставятся в соответствие два числа: – полярный радиус и j – полярный угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с вектором ; при этом вращение против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке – отрицательным. Если точка М совпадает с полюсом 0, то полярный угол не определён.

Полярный угол j определяется с точностью до . Принято договариваться о главных значениях полярного угла; обычно таковыми считаются углы в пределах или .

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат на плоскости, начало которой совпадает с полюсом 0, а положительная

полуось 0x – с полярной осью (в этом случае говорят, что декартова прямоугольная система координат согласована с полярной системой координат). Тогда декартовы прямоугольные (x; y) и полярные (r; j) координаты точки М связаны соотношениями

Это есть формулы перехода от полярных координат к декартовым.

Пример 5. Найти полярные координаты точки М, если в согласованной декартовой прямоугольной системе координат она имеет координаты x = ‑2, .

Решение. ;

.

Пример 6. Составить полярные уравнения:

а) прямой y = ‑2x + 3; б) параболы y = 2x2.

Решение. Имеем x = r cosj, y = r sinj. Поэтому

а) r sinj = ‑2 r cosj + 3; – уравнения прямой

y = ‑2x + 3.

б) r sinj = 2 r2 cos2j, – уравнения параболы y = 2x2.

4. Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость (P) в пространстве с заданной декартовой прямоугольной системой координат может быть задана одним из следующих уравнений:

Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости;

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 – уравнение плоскости (P), проходящей через точку M(x0; y0; z0) и перпендикулярной вектору – вектору нормали к (P) (вектором нормали к плоскости (P) называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный (P));

– уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c –направленные отрезки, отсекаемые плоскостью на осях 0x, 0y, и 0z соответственно;

4) – нормированное (или нормальное) уравнение плоскости (P), где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора нормали n к (P), направленного из начала координат в сторону плоскости (P), r – расстояние от начала координат до плоскости (P);

5) – уравнение плоскости,

проходящей через три точки M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3), не лежащие на одной прямой.

Расстояние от точки M0(x0; y0; z0) до плоскости (P), заданной общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, находится по формуле

.

Две различные плоскости (P1): и (P2): параллельны в том и только в том случае, если .

Угол j между плоскостями (P1): и (P2): есть угол между нормалями и (с поправкой на направление, если угол тупой) к этим плоскостям:

.

Эти плоскости: а) параллельны в том и только в том случае, если и коллинеарны; б) перпендикулярны в том и только в том случае, если .

Прямая (L) в пространстве с заданной прямоугольной системой координат может быть задана:

1) каноническими уравнениями ; при этом (L) проходит через точку M0(x0; y0; z0) и параллельна направляющему вектору прямой ;

2) параметрическими уравнениями

,

заданные числа x0, y0, z0, l, m, n имеют тот же смысл, что и в канонических уравнениях;

3) общим уравнением

где ранг матрицы равен 2, при этом (L) есть прямая пересечения плоскостей

(P1): , (P2): .

Угол j между прямыми (L1) и (L2) есть угол между направляющими векторами и (с поправкой на направление, если угол между ними тупой):

.

Угол y между прямой (L): и плоскостью (P): определяется по формуле

.

Пример 7. Даны плоскость (P): ‑2x + y + 3z – 1 = 0, прямая (L): и точка M(–4; 1; 7): а) составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и параллельной (P); б) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М и параллельной (L); в) составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной (L); г) составить уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной (P¢);

д) составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую(L); е) составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскостям (P¢): x – 3y – z + 2 = 0 и

(P¢¢: 4x + 2y – 5z + 7 = 0; ж) найти точку пересечения прямой (L) и плоскости (P); з) найти расстояние от точки М до плоскости (P).

Решение. а) В качестве вектора нормали к искомой плоскости (P1) можно взять n {–2; 1; 3} – нормаль к (P). Поэтому уравнением (P1) будет –2(x + 4) + 1 (y – 1) +3 (z – 7) = 0, или –2x + y + 3z – 30 = 0.

б) В качестве направляющего вектора искомой прямой (L1) можно взять q {4; ‑6; 1} – направляющий вектор (L). Тогда уравнениями (L1) будут .

в) В качестве вектора нормали к искомой плоскости (P2) можно взять q {4; ‑6; 1} – направляющий вектор (L); и уравнением (P2) будет 4(x + 4) – 6(y – 1) + 1 (z – 7) = 0 или 4x – 6y + z + 15 = 0.

г) Направляющим вектором искомой прямой (L2) можно взять

n { –2; 1; 3} – нормаль к (P). Отсюда получаем уравнения (L2):

.

д) Запишем уравнения (L) в параметрической форме:

,

Придав t два различных значения, скажем, t = 0 и t = 1, найдём две точки прямой (L):

M1(5; –2; –1),

M2(9; –8; 0).

Точки M, M1, и M2 лежат в искомой плоскости (P3). Составим уравнение (P3) как уравнение плоскости, проходящей через эти три точки:

– 51(x + 4) – 41(y – 1) – 42(z – 7) = 0;

– 51x – 41y – 42z + 131 = 0.

Это и есть уравнение (P3).

е) В качестве вектора нормали к искомой плоскости (P4) можно взять векторное произведение на – нормалей к плоскости (P’) и (P”):

.

Зная точку M(–4; 1; 7), через которую проходит плоскость (P4), и вектор нормали , составляем уравнение (P4):

17(x + 4) + 1 (y – 1) + 14 (z – 7) = 0;

17x + y + 14z – 31 = 0.

ж) Запишем ещё раз уравнения (L) в параметрической форме:

, (1)

Подставим эти выражения в уравнение плоскости (P):

–2(4t + 5) + (–6t – 2) + 3(t – 1) – 1 = 0;

–11t = 16; .

Подставив найденное t в (1), находим координаты искомой точки:

,

Таким образом, точкой пересечения (L) и (P) является .

з) .

Пример 8. Составить канонические уравнения прямой (L), заданной в виде

(2)

Решение. Прямая (L) задана как пересечение плоскостей

(P1):–3x + 2y – z + 1 = 0 и (P2): x – 5y + 6z + 21 = 0. Векторы нормалей , перпендикулярны к (L). Поэтому в качестве направляющего вектора q прямой (L) можно взять векторное произведение :

= .

Для составления канонических уравнений прямой достаточно знать её направляющий вектор и точку, через которую проходит прямая. Найдём некоторую точку (L). Определитель отличен от нуля. Перепишем систему (2) в виде

Положим z=0 (можно было взять любое другое), получим систему

Эта система имеет решение x =47/13, y = 64/13. Вспомнив, что z = 0, находим точку прямой (L): M(47/13; 64/13; 0). Составим уравнение прямой (L) по её направляющему вектору `q {7; 17; 13} и точке M(47/13; 64/13; 0), через которую она проходит:

5. Кривые второго порядка на плоскости

Эллипсом называется геометрическое место всех таких точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Гиперболой называется геометрическое место всех таких точек на плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Параболой называется геометрическое место всех таких точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки F, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

Для каждой из этих кривых существует такая декартова прямоугольная система координат, что кривая описывается каноническим уравнением

для эллипса,

для гиперболы,

для параболы.

 
 

Эллипс, заданный уравнением в канонической форме, имеет центр симметрии – точку 0, две оси симметрии – координатные оси 0x и 0y, заключён в прямоугольнике –a£x£a, –b£y£b и касается его сторон.

Гипербола, заданная уравнением в канонической форме, имеет центр симметрии – точку 0, две оси симметрии – координатные оси 0x и 0y, имеет две асимптоты – прямые и .

Парабола, заданная уравнением в канонической форме, имеет одну ось симметрии – ось 0x.

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая, которая в декартовой прямоугольной системе координат задаётся уравнением

. (3)

Если кривая, задаваемая уравнением (3), не является вырожденной, то она является либо эллипсом, либо гиперболой, либо параболой (к вырожденным относятся: пустое множество, точка, пара точек, прямая, пара прямых).

Пример 9. Дано уравнение кривой в полярной системе координат: : а) изобразить кривую по точкам, придавая j значения из промежутка с шагом p/8;

б) составить уравнение этой кривой в декартовой прямоугольной системе координат, согласованной с полярной, и определить вид этой кривой.

Решение. а) Составим таблицу значений функции.

j   p/8 p/4 3p/8 p/2 5p/8 3p/4 7p/8
r   2,8 2,32 1,72 1,5 1,26 1,11 1,02
j p 9p/8 5p/8 11p/8 3p/2 13p/8 7p/4 15p/8
r   1,02 1,11 1,26 1,5 1,72 2,32 2,8

По этим данным отметим точки на плоскости и, плавно соединяя соседние точки, построим линию.


б) Перейдём к декартовой прямоугольной системе координат, пользуясь формулами , , :

; ; ; ;

4(x2 + y2) = x2 + 6x + 9; 3x2 – 6x + 4y2 = 9;

3(x2 – 2x + 1 – 1) + 4y2 = 9; 3(x – 1)2 +4y2 = 12; .

Это уравнение эллипса с центром в точке (1; 0) и полуосями

a = 2, .

Задание 4.1

Докажите, что векторы образуют базис. Найдите разложение вектора `a в этом базисе.

№
  {3;–2;1} {1;1;–4} {–2;3;1} {–1;–1;3}
  {2;1;–1} {–3;–2;1} {4;2;–3} {–2;–2;4}
  {–1;–2;3} {2;0;–4} {3;–2;1} {5;–1;–2}
  {–4;–1;1} {3;–2;–1} {2;–5;3} {–2;1;0}
  {–3;1;–2} {4;–2;–1} {1;–1;2} {3;1;–4}
  {2;–1;2} {3;1;–4} {4;3;–1} {0;2;–3}
  {1;–3;2} {2;0;–1} {0;6;1} {–5;2;–1}
  {–2;–2;1} {3;1;–2} {1;–1;3} {4;–2;1}
  {1;–2;4} {–2;–3;1} {1;5;–2} {3;0;2}
  {4;1;–1} {–3;1;–1} {1;3;–4} {–2;1;–1}
  {–2;0;5} {3;–1;2} {1;–1;1} {2;–4;3}
  {–5;1;–1} {–2;–2;3} {–1;5;1} {0;–1;2}
  {2;–4;5} {3;1;–3} {–1;–5;0} {2;3;–5}
  {–4;–2;1} {0;2;–1} {3;–2;–2} {5;–1;1}
  {–3;–3;2} {2;–1;4} {–1;–4;1} {2;–3;–2}
  {–1;5;1} {3;–2;0} {2;3;3} {–4;–1;1}
  {2;–3;–2} {–1;–1;4} {–1;–6;1} {–2;–3;1}
  {–1;–1;5} {2;–1;–3} {1;–2;–1} {3;–1;1}
  {0;2;–1} {3;–1;–3} {3;1;–2} {1;–4;–1}
  {–5;1;–1} {2;1;–3} {–3;2;1} {4;2;–3}
  {2;–3;2} {1;–4;–1} {1;3;–2} {1;0;–5}
  {4;–1;5} {–2;3;1} {2;2;–1} {3;1;–1}
  {–2;1;5} {3;–3;1} {1;–2;2} {3;1;0}
№
  {–1;1;6} {2;–3;–1} {1;2;–1} {–4;–1;–2}
  {3;–1;5} {2;–2;–1} {4;0;–1} {–3;–2;1}
  {2;2;–5} {–1;2;–1} {3;6;–1} {2;–4;1}
  {–3;–1;2} {2;–4;0} {4;–1;1} {–5;1;–1}
  {1;–5;2} {–2;1;1} {3;–6;–3} {1;–1;7}
  {–4;1;4} {2;–1;3} {0;–1;2} {1;–3;4}
  {2;–5;2} {–1;3;0} {1;–2;3} {4;–4;3}

Задание 4.2

Даны точки A, B, C, D. Найдите: а) длину отрезка AB;
б) косинус угла B в треугольнике ABC; в) ;

г) и направляющие косинусы вектора ; д) площадь треугольника ABC; е) высоту h треугольника ABC, опущенную из вершины C на сторону AB; ж) объём пирамиды ABCD.

№ A B C D a b
  (–3;2;–1) (1;–1;4) (2;0;1) (1;–3;5)   –1
  (1;–2;1) (3;0;2) (–4;2;–1) (–1;–1;3) –2  
  (–4;–1;1) (–2;0;–1) (–1;–2;3) (1;–3;–1) –2  
  (2;0;–3) (1;–1;2) (3;1;–1) (–2;–1;–1)   –2
  (–1;–1;1) (2;–2;0) (3;1;–4) (–2;1;3)   –1
  (–2;2;1) (3;0;–1) (2;1;–4) (3;2;–2) –2 –3
  (1;–1;–1) (2;–1;0) (4;1;–2) (3;0;1)    
  (4;1;–1) (–2;–1;1) (0;2;–1) (3;1;–2) –3  
  (0;–2;–1) (3;1;–2) (4;2;1) (1;–1;4)    
  (1;3;–3) (2;1;0) (–1;2;–1) (3;2;1) –2 –1
  (–2;1;1) (1;–1;0) (2;3;–1) (–1;–2;1)    
  (–3;1;2) (–2;3;1) (–1;4;1) (1;0;3) –1 –3
  (2;1;–5) (3;0;–2) (1;–1;0) (–1;2;–4) –3  
  (0;–1;4) (2;–2;5) (4;1;0) (–2;2;3)   –2
  (3;–2;1) (5;–3;4) (2;1;1) (–1;2;3)   –3
  (–3;5;–1) (–2;3;2) (0;1;–2) (–1;1–1)    
  (2;–1;–4) (–1;–1;–2) (1;0;1) (3;1;2)   –3
  (3;5;2) (0;4;1) (2;–1;–1) (4;2;–3) –2  
  (–4;–1;2) (–2;0;5) (–1;1;3) (–3;4;7)    
  (6;–1;1) (4;0;5) (3;–2;1) (1;–4;4) –2  
№ A B C D a b
  (5;2;–3) (1;3;–1) (2;4;–5) (4;–1;1) –5  
  (–1;–1;7) (1;–3;5) (2;–4;3) (3;1;–1) –4  
  (2;–7;–5) (1;–4;–6) (–1;–8;–3) (5;–4;–2)   –3
  (–3;2;8) (1;1;5) (–1;3;3) (0;4;1)    
  (6;–1;–1) (4;–2;0) (7;0;1) (2;–3;2) –2 –5
  (–5;2;–4) (–3;1;–6) (0;–1;–1) (–1;–2;2)    
  (4;–2;–3) (2;1;–2) (–1;0;–1) (3;2;–4)    
  (–1;–1;4) (2;1;3) (–3;2;1) (0;1;–1) –3  
  (–5;–3;1) (–6;–2;2) (–1;–4;1) (–4;1;–1)    
  (–6;–2;1) (–8;0;1) (–4;–3;2) (–5;3;–1)    

Задание 4.3

Составьте уравнения прямых AB, BC, CD.

Задание 4.4

Даны плоскости

, , ;

прямая ; точка :

а) составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М, и параллельной плоскости (П); б) составьте уравнение прямой, проходящей через точку М, и параллельной прямой (L);

в) составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М, и перпендикулярной прямой (L); г) составьте уравнение прямой, проходящей через точку М, и перпендикулярной (П);

д) составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую (L); е) найдите точку пересечения прямой (L) и плоскости (П);

ж) составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М, и перпендикулярной плоскостям () и ();

з) составьте канонические уравнения прямой

и) найдите расстояние от точки М до плоскости (П).

№ (A;B;C;D) (A';B';C';D') (A";B";C";D") (x0;y0;z0) (l; m; n) (x';y';z')
  (–5;2;–1;3) (2;1;–1;4) (–3;–1;0;1) (2;–2;3) (1;5;–4) (2;–1;–3)
  (1;3;–4;1) (–3;–1;2;6) (2;5;–1;–4) (–1;-4;2) (2;–1;3) (–2;1;1)
  (–2;2;3;7) (1;–1;3;4) (–1;–2;3;5) (2;7;–9) (3;–2;–1) (3;–1;1)
  (–1;5;–3;8) (2;7;–1;3) (–2;1;–1;6) (–9;–6;1) (–4;–2;–5) (2;1;–1)
  (4;–2;1;3) (–1;–3;5;0) (3;2;–1;9) (3;5;–7) (2;1;–4) (3;–1;1)
  (1;–3;0;5) (–2;6;1;–7) (2;4;–3;–8) (7;–7;5) (3;–3;2) (–1;–2;–3)
  (3;–2;1;–5) (1;–1;–4;6) (–6;2;1;7) (3;0;1) (2;–3;0) (4;1;1)
  (–4;1;–3;–6) (0;2;1;–8) (3;5;–1;1) (7;–9;–6) (5;–2;1) (–3;–2;1)
  (0;3;–2;3) (–4;–1;2;7) (1;3;–5;6) (3;–3;4) (–1;3;7) (2;–2;1)
  (2;–3;1;5) (–1;–1;3;4) (–4;1;–1;5) (4;9;–9) (2;7;3) (1;–2;–2)
  (–1;–5;3;0) (1;2;–1;4) (–3;–1;1;8) (5;–3;–2) (2;–1;–4) (–5;–2;–3)
  (6;–2;–1;3) (–2;1;–3;5) (–1;3;4;1) (6;2;–1) (5;–1;2) (1;–1;4)
  (4;–3;1;2) (0;3;–2;6) (2;1;–1;3) (–3;–5;1) (0;2;–1) (1;–1;3)
  (–3;0;2;–6) (1;–2;4;–5) (–2;3;1;3) (2;–8;5) (1;–2;–3) (–1;1;–2)
  (–4;–3;1;9) (2;–2;5;1) (1;3;–1;4) (3;–2;–4) (1;2;–3) (–1;–2;3)
  (–2;5;–1;2) (–3;1;3;4) (1;–2;–1;6) (–4;–2;3) (2;–1;6) (2;1;–1)
  (4;1;–1;5) (3;–3;1;1) (2;0;1;–4) (7;–5;2) (3;–4;1) (–1;2;0)
  (5;1;–1;8) (–2;1;–3;4) (3;–1;2;9) (5;2;–4) (–1;2;–1) (1;2;3)
  (1;–2;4;3) (3;–1;0;6) (–2;–1;3;4) (2;–7;9) (2;–1;2) (1;3;–1)
  (3;–2;–1;7) (2;1;3;–8) (1;–3;–3;5) (6;–1;8) (–2;0;1) (–1;2;1)
  (2;2;5;–1) (1;–1;4;7) (0;2;1;3) (2;9;3) (1;–4;1) (4;–3;–1)
  (–3;5;1;4) (2;1;–1;3) (4;–2;–1;5) (6;8;–1) (2;1;–2) (1;–1;2)
  (0;2;–1;7) (3;–4;1;6) (2;1;–3;7) (2;–4;–6) (3;–4;1) (–4;2;1)
  (2;–2;3;1) (4;–1;1;3) (–3;3;2;5) (6;–2;4) (2;–1;1) (3;3;1)
  (–5;1;–1;3) (2;1;–2;5) (4;–1;3;0) (2;–5;4) (1;–2;3) (2;–2;3)
  (3;4;–5;1) (–2;3;4;6) (2;0;1;9) (3;–4;1) (2;–3;2) (–1;–1;–2)
  (4;3;–1;8) (–3;1;2;5) (1;–1;5;4) (4;–2;1) (–3;1;3) (2;1;–5)
№ (A;B;C;D) (A';B';C';D') (A";B";C";D") (x0;y0;z0) (l; m; n) (x';y';z')
  (1;–4;1;5) (2;1;4;–6) (3;–3;2;1) (5;0;2) (–1;2;–4) (–3;–2;1)
  (2;1;–3;4) (–5;2;3;4) (1;–1;3;–2) (–8;1;3) (–1;3;2) (4;–2;1)
  (5;–2;1;3) (2;1;–1;3) (–4;2;3;1) (3;–2;7) (1;–2;–4) (–1;–2;4)

Задание 4.5

Кривая в полярной системе координат задана уравнением . а) изобразите кривую по точкам, придавая j значения из промежутка с шагом p/8; б) составьте уравнение этой кривой в декартовой прямоугольной системе координат, согласованной с полярной, и определите тип этой кривой.

1) ; 11) ; 21) ;

2) ; 12) ; 22) ;

3) ; 13) ; 23) ;

4) ; 14) ; 24) ;

5) ; 15) ; 25) ;

6) ; 16) ; 26) ;

7) ; 17) ; 27) ;

8) ; 18) ; 28) ;

9) ; 19) ; 29) ;

10) ; 20) ; 30) .

Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 319 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!

studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...