Теплопроводность через плоскую стенку при граничных условиях первого рода

Рис. 9.2. Однородная плоская стенка

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной δ (рис. 9.2). На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t_с1 и t_с2. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен λ. При стационарном режиме () и отсутствии внутренних источников теплоты (q_v =0) дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:

.

(9.16)

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (ось Оx). В этом случае

,

и дифференциальное уравнение теплопроводности перепишется в виде:

.

(9.17)

Граничные условия первого рода запишутся следующим образом: при x=0 t=t_c1; при x=δ t=t_c2. Интегрируя уравнение (9.17), находим

.

После второго интегрирования получаем

.

(9.18)

Постоянные С₁ и С₂ определим из граничных условий: при x=0 t=t_c1, С₂=t_c1; при x=δ t=t_c2=С₁·δ+t_c1, отсюда . Подставляя значения С₁ и С₂ в уравнение (9.18), получим уравнение распределения температуры по толщине стенки:

.

(9.19)

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку в направлении оси Оx, воспользуемся законом Фурье, согласно которому .

Учитывая, что , получим

.

(9.20)

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время τ,

.

(9.21)

Отношение называют тепловой проводимостью стенки, обратную ей величину - термическим сопротивлением теплопроводности. Поскольку величина λ зависит от температуры, в уравнения (9.20), (9.21) необходимо подставить коэффициент теплопроводности λ_с, взятый при средней температуре стенки.

14. Начальные и граничные условия

Для решения дифференциальных уравнений численными методами требуются дополнительные условия. Если искомая функция (концентрация, температура и т.д.) является функцией времени u = f (t), то требуются начальные условия, характеризующие значение этой функции в момент времени, принятый за начальный: Если искомая функция также является функцией пространственных координат u = f (t, x), то начальные условия характеризуют её распределение в пространстве в начальный момент времени: В последнем случае помимо начальных условий, требуются ещё и граничные условия, характеризующие значение функции u на границе изучаемой системы с внешней средой для любого момента времени. Причём если искомая функция является функцией нескольких пространственных координат, то необходимо задавать граничные условия по каждой из них. Количество граничных условий по каждой пространственной координате определяется порядком старшей производной функции u по этой координате в дифференциальном уравнении. Например, для решения многомерного уравнения требуются: начальное условие,   2 граничных условия по координате х, 1 граничное условие по координате y, 2 граничных условия по координате z.   15--------------- 16в тел 17в тел 18 в тел 19 Критический диаметр цилиндрической стенки При проведении изоляционных работ возможен случай, когда при увеличении толщины слоя изоляции на цилиндрическом трубопроводе потери тепла не только падают, а возрастают. Это определяется теплопередачей через цилиндрическую стенку аппарата или трубопровода. Аналогичная история может случиться и при изоляции трубопровода или аппарата, тепловое излучение от стенки которого зависит от степени черноты изоляционного материала достаточно тонкого слоя. В этом случае термическое сопротивление слоя изоляции может оказаться меньше термического сопротивления теплообмена излучением за счет увеличения степени черноты материала изоляции и ее увеличение не приведет к уменьшению тепловых потерь. Рассмотрим влияние изменения наружного диаметра однородной цилиндрической стенки на ее термическое сопротивление (рис. 1.21, а): Рис. 1.21. К расчету критического диаметра изоляции: а – зависимость термического сопротивления от наружного и внутреннего диаметров трубопровода; б – максимум тепловых потерь при критическом диаметре При постоянных значениях α1, α2, λ и d 1 полное термическое сопротивление теплопередачи будет зависеть от внешнего диаметра d 2. Так как термическое сопротивление со стороны внутренней стенки постоянно, то с ростом внешнего диаметра будет увеличиваться термическое сопротивление теплопроводности и уменьшаться термическое сопротивление со стороны наружной стенки. Продифференцируем уравнение суммарного термического сопротивления цилиндрической стенки и приравняем производную нулю, получим Таким образом, получено значение экстремальной точки кривой данного уравнения. Возьмем вторую производную Полученное значение больше нуля, поэтому имеем дело с минимумом суммарного термического сопротивления цилиндрической стенки. Рассмотрим критический диаметр изоляции, наложенной на трубу. Термическое сопротивление ее теплопередаче Из уравнения следует, что плотность теплового потока q при увеличении диаметра изоляции вначале будет возрастать и при d из = d кр достигнет максимума (см. рис. 1.21, б). При дальнейшем увеличении диаметра изоляции q будет снижаться, однако толщина изоляции от d 2 до d кр будет бесполезна. При выборе теплоизоляционного материала прежде всего следует проверить критический диаметр изоляции При условии d кр > d 2   считается, что выбранный материал в качестве изоляционного не подходит. ПРИМЕР ЗАДАЧ: Определим критический диаметр изоляции асбестом Так как d кр > d 2, то асбест в данном случае использовать нецелесообразно. 20.21.в тел. 22.в тел 23------ 24--------- 25------- 26Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с постоянной температурой произвольного по форме однородного и изотропного тела, начальное распределение температур в котором в начальный момент времени τ = 0 задано известной функцией координат f(x, y, z,0)=T0. В целях упрощения записи будем, не уменьшая общности, считать температуру окружающей среды Tf = const. Уравнение теплопроводности в безразмерных переменных записывается как: [1], где · — безразмерная температура · T = текущая температура тела · Tf = температура среды · T0 = начальная температура тела · Fo = Число Фурье Решением данного уравнения при изложенных выше условиях является ряд вида: , где (где Bi — число Био), а зависит от начальных условий. Рассматривая поведение данного ряда с течением времени (то есть с ростом Fo), приходим к выводу, что члены убывают во времени, причем с неодинаковой скоростью. Члены высших порядков убывают быстрее и через некоторое время становятся пренебрежимо малы. Поэтому температура в любой точке тела задолго до достижения им температуры окружающей среды будет определяться, по существу, первым членом ряда, то есть следовать простому экспоненциальному закону: . Момент, когда изменение температуры всех точек тела можно считать следующим этому простому закону, называют началом регулярного, то есть упорядоченного режима. В зависимости от характера изменения температуры окружающей среды Tf во времени различают регулярные режимы трёх родов Регулярный режим первого рода[править | править исходный текст] Рассмотренное выше условие Tf=const определяет регулярный режим первого рода. Признак регуляризации режима 1-го рода состоит в том, что изменение температуры в каждой точке системы происходит по экспоненте, одинаковой для всех точек: , , , где m — темп нагрева, который для малых чисел Био (Bi<<1) определяется как: , где · F — площадь поверхности тела · α — коэффициент теплоотдачи · ρ — плотность тела · c — теплоёмкость тела. Для произвольных Bi вводится коэффициент неравномерности температурного поля ψ, который можно определить как отношение средней по поверхности безразмерной температуры к средней безразмерной температуре по объёму. В предельном случае, когда число Био стремится к бесконечности, ψ=0 Тогда выражение для темпа нагрева принимает вид: .[2] Регулярный режим второго рода[править | править исходный текст] Наступает, когда скорость изменения температуры становится, во-первых, постоянной, общей для всех точек тела, и, во-вторых, равной скорости изменения температуры внешней среды: [2] Регулярный режим третьего рода[править | править исходный текст] Регулярный режим третьего рода реализуется в случае гармонических колебаний температуры среды около некоторой средней температуры. Xарактерно, что температура любой точки тела колеблется около своего среднего значения с тем же периодом, что и температура окружающей среды, то есть с периодом, одинаковым для всех точек тела: где φ, T0, P, Q, B — функции координат. (Очевидно, эти колебания происходят с иной амплитудой, а также могут быть смещены по фазе по сравнению с колебаниями температуры окружающей среды.)[2]

Основные понятия и определения

Тепловое излучение представляет собой процесс распространения в пространстве внутренней энергии излучающего тела путем электромагнитных волн. Возбудителями этих волн являются материальные частицы, входящие в состав вещества. Для распространения электромагнитных волн не требуется материальной среды, в вакууме они распространяются со скоростью света и характеризуются длиной волны λ или частотой колебаний ν. При температуре до 1500 ⁰С основная часть энергии соответствует инфракрасному и частично световому излучению (λ =0,7÷50 мкм).

Следует отметить, что энергия излучения испускается не непрерывно, а в виде определенных порций — квантов. Носителями этих порций энергии являются элементарные частицы излучения — фотоны, обладающие энергией, количеством движений и электромагнитной массой. При попадании на другие тела энергия излучения частично поглощается ими, частично отражается и частично проходит сквозь тело. Процесс превращения энергии излучения во внутреннюю энергию поглощающего тела называется поглощением. Большинство твердых и жидких тел излучают энергию всех длин волн в интервале от 0 до ∞, то есть имеют сплошной спектр излучения. Газы испускают энергию только в определенных интервалах длин волн (селективный спектр излучения). Твердые тела излучают и поглощают энергию поверхностью, а газы — объемом.

Излучаемая в единицу времени энергия в узком интервале изменения длин волн (от λ до λ+dλ) называется потоком монохроматического излучения Q_λ. Поток излучения, соответствующий всему спектру в пределах от 0 до ∞, называется интегральным, или полным, лучистым потоком Q (Вт). Интегральный лучистый поток, излучаемый с единицы поверхности тела по всем направлениям полусферического пространства, называется плотностью интегрального излучения (Вт/м²)

.

(11.1)

Отсюда

.

Если величина Е одинакова для всех элементов поверхности F, то Q=E·F.

Плотность потока монохроматического излучения носит название спектральной интенсивности излучения J_λ. Она связана с плотностью интегрального излучения уравнением:

или .

(11.2)

Каждое тело не только излучает, но и поглощает лучистую энергию. Из всего количества падающей на тело лучистой энергии E_пад (Q_пад) часть ее E_пог (Q_пог) поглощается, часть Е_от (Q_от) отражается и часть E_пр (Q_пр) проходит сквозь тело. Следовательно,

.

(11.3)

Обозначим

,

(11.4)

где А — коэффициент поглощения; R — коэффициент отражения, D — коэффициент пропускания. Тогда А+R+D=1.

Если тело поглощает все падающие на него лучи, то есть A=1, R=О, D=0, оно называется абсолютно черным. Если вся падающая на тело энергия отражается, то R=1, А=О, D=0. Если при этом отражение подчиняется законам геометрической оптики, тело называется зеркальным; при диффузном отражении, когда отраженная лучистая энергия рассеивается по всем направлениям, — абсолютно белым. Если D=1, то A=0 и R=0. Такое тело пропускает все падающие на него лучи и называется абсолютно прозрачным. В природе абсолютно черных, белых и прозрачных тел не существует.

Участвующее в лучистом теплообмене тело, помимо собственного излучения Е, определяемого свойствами излучающего тела и температурой, отражает падающую на него энергию, т. е.

.

(11.5)

Сумма энергии собственного и отражательного излучения составляет эффективное излучение тела

.

(11.6)

При расчете лучистого теплообмена между телами большое значение имеет результирующее излучение, представляющее собой разность между лучистым потоком, получаемым телом, и лучистым потоком, который оно испускает в окружающее пространство. Для определения плотности потока результирующего излучения q_р полагая коэффициент пропускания тела равным нулю составим уравнение баланса энергии, проходящей через плоскости а—а и b—b, одна из которых расположена внутри, а другая снаружи тела вблизи его поверхности (рис. 11.1). Для плоскости а—а

Рис. 11.1. К составлению уравнения баланса энергии.

;

(11.7)

для плоскости b—b

.

(11.8)

Заметим, что величина q_р может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Определим зависимость между результирующим и эффективным излучением. Из (11.8)

,

(11.9)

из (11.7)

.

(11.10)

Подставив выражение для E_пад в уравнение (11.9), получаем

.

(11.11)

Это уравнение широко используется при расчете лучистого теплообмена между телами.