Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Основы метода наименьших квадратов
При производстве измерений, отягощённых погрешностями, обычно стремятся сделать их больше, чем необходимо для отыскания искомых величин.
Избыточность измерений обеспечивает контроль и предохраняет от грубых промахов, даёт возможность получить более точные результаты и оценить как их погрешности, так и погрешности отдельных измерений. В то же время из за различных погрешностей избыточные измерения приводят к неодинаковым результатам. Поэтому вместо однозначного решения задачи получается несколько ответов, которые необходимо согласовать между собой.
Так, для оценки приращения координат Δφ и Δλ на плоскости могут быть измерены три навигационных параметра, т.е. n=3. В этой ситуации говорят. Что избыточность равна единице. Система уравнений линий положений будет иметь вид:
g 1 cos τ1.Δφ+ g 1 sin τ1.Δω = u01-uc1
g 2 cos τ2.Δφ+ g 2 sin τ2.Δω = u02-uc2 (10)
g 3 cos τ3.Δφ+ g 3 sin τ3.Δω = u03-uc3
Из-за наличия погрешностей измерений линии положения образуют фигуру погрешностей – треугольник (рис 2)
Решение любых двух уравнений из трёх даст нам положение вершин этого треугольника относительно начала координат (счислимого места). Это означает, что решение любой пары уравнений не обращает в тождество оставшееся уравнение. Такая система не совместна, т.е. решение любой пары несовместно с третьим уравнением. Анализ размеров фигуры погрешностей и её поведение в последовательности измерений дают полезные сведенья о качестве измерительной навигационной информации.
Для того, чтобы получить согласованное решение необходимо ввести дополнительное условия, которые можно получить, если более детально представить систему (10). Необходимо в окрестности фигуры погрешностей выбрать точку(предполагаемое решение), относительно которой и можно было бы сформулировать дополнительное условие.
Отрезки u /1 u /2 u /3 называются невязками. В специальной литературе также встречается термин «поправка» или «ошибка линий положения» в зависимости от знака. В такой ситуации именно невязки определяют решение относительно фигуры погрешностей. Множество возможных сочетаний невязок определяет множество решений и задача заключается в подборе наиболее простого и физически интерполируемого условия. если обозначить Δu1= u0i- uci, то с учетом невязок систему (10) можно записать так:
g 1 cos τ1.Δφ+ g 1 sin τ1.Δω-Δu1 = u01-uc1
g 2 cos τ2.Δφ+ g 2 sin τ2.Δω-Δu2 = u02-uc2 (11)
g 3 cos τ3.Δφ+ g 3 sin τ3.Δω-Δu3= u03-uc3
Здесь величины u1 u2 u3 – невязки, выраженные в единицах измерений навигационного параметра, что более удобно для дальнейших выкладок.
Для согласования системы (11) с рис.2 необходимо выразить невязки ui в линейных единицах т.е. разделить все челены на модули соответствующих градиентов:
g 1 cos τ1.Δφ+ g 1 sin τ1.Δω-Δn1 = u01-uc1
g 2 cos τ2.Δφ+ g 2 sin τ2.Δω-Δn2 = u02-uc2 (12)
g 3 cos τ3.Δφ+ g 3 sin τ3.Δω-Δn3= u03-uc3
Избыточная система уравнений(10) превратилась в систему (12) с недостаточным числом уравнений, так как невязки также неизвестны. Формально наиболее простое решение такой системы можно получить, если принять следующее условие:
S= [u2]= u21+ u22 +u23=min, (14)
При увеличении числа измерений (n>3) возникает более сложная фигура погрешностей с числом вершин , но условие (13) даёт однозначное решение системы уравнений линий положения при любом значении n. Его суть сводится к поиску «центра тяжести» фигуры погрешностей измерений, т.е. к определению некоторого среднего значения координат из множества координат вершины фигуры. Решение системы уравнений называется оптимальным в смысле выполнения условия S=min, т.е. при выполнении критерия минимума суммы квадратов невязок.
32)СКП одного измерения, среднее арифметическое результатов измерений и его СКП.
33)Обнаружение грубых погрешностей.
34)Обработка прямых неравно точных измерений. Погрешность функции измеренных величин.
35)Среднестатистические погрешности основных навигационных параметров (частная, повторяющаяся, полная)
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 261 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!