Обобщающие примеры по теме: «Кривые второго порядка»

Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Кривые второго порядка». Эти Примеры предназначены закрепить навыки применения общих алгоритмов решений, установленных в поясняющих Примерах.

☺ ☻ ☺

Пример 1 – 444: Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметричного относительно начала координат, зная кроме того, что:

1) его полуоси равны 5 и 2;

2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2 = 8;

3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2 = 10;

4) расстояние между фокусами 2 = 6 и эксцентриситет = ;

5) его большая ось равна 20, а эксцентриситет = ;

6) его малая ось равна 10, а эксцентриситет = ;

7) расстояние между его директрисами равно 5, между фокусами 2 = 4;

8) его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;

9) его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;

10) расстояние между его директрисами равно 32 и эксцентриситет = .

Решение:

Общее: воспользуемся рисунком и основными выражениями для эллипса:

уравнение: , – большая полуось, – малая полуось, = – , где – фокус; – эксцентриситет; = , = ; + =2 , – директриса.

Учитывая принятые обозначения, а также указанные основные соотношения между элементами эллипса, последовательно решаем все задания:

1). В соответствии с принятыми обозначениями запишем: =5, = 2, и каноническое уравнение эллипса принимает вид .

2). Из условия: 2 =10 и 2 = 8 → =5; =4. Тогда = – =9 и уравнение эллипса: .

3). Из условия: 2 =24 и 2 =10 → =12; =5. Тогда = + =169 и можем записать уравнение эллипса .

4). Из условия: 2 =6 и = = → =3, . Далее = – =16 и можем записать уравнение эллипса .

5). Из условия: 2 =20 и = = → =10; = · =6. Далее = – =64 и можем записать уравнение эллипса .

6). Из условия: 2 =10 и = = → =5 и имеем систему: откуда: = 169 и следует уравнение эллипса .

7). Из условия: 2 =2 =5 и =2 → получаем (используя = · =2) систему: откуда вычисляем: = 5 и = – = 1, тогда уравнение эллипса: .

8). Из условия: 2 =8 и 2 =2 =16 → = 4 и = , далее = · =2 и = – =12, после чего уравнение эллипса: .

9). Из условия: 2 =6 и 2 = =13 → = 3 и = . Из формулы = · → = · = . Учтем также: = – = – 9, получаем биквадратное уравнение: = – 9, откуда =13 и = . Варианты записи уравнений эллипса: .

10). Из условия: 2 =2 =32 и = → =8 и = · =4. Далее вычисляем = – =48 и записываем уравнение эллипса .

Ответ: для случаев: 1) , 2) , 3) , 4) .

5) , 6) , 7) , 8) .

, ; 10) .

Пример 2 – 452: Пользуясь одним циркулем, построить фокусы эллипса (считая, что изображены оси координат и задана масштабная единица).

Решение:

1). В соответствии с уравнением имеем отрезки =4 и =3. Это значит, определены большая и малая полуоси эллипса, и их координаты можно отметить на осях . Координаты фокусов можно было бы вычислить по формуле: = – .

2). Из выражения = – следует, что отрезки и можно считать катетами прямоугольного треугольника, а отрезок – гипотенузой. Отсюда следует последовательность построений: на оси отмечаем точку (0, ). На одной из осей координат циркулем снимаем размер отрезка =4, и из точки (0, ) радиусом = отмечаем точки (– , 0)и (, 0).

Ответ: обоснование и последовательность действий: в тексте, рисунок показан.

Пример 3 – 465: Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

1) точка (– 2 , 2) эллипса и его малая полуось =2;

2) точка (2, – 2) эллипса и его большая полуось =4;

3) точки (4, – ) и (2 , 3) эллипса;

4) точка (, – 1) эллипса и расстояние между его фокусами 2 = 8;

5) точка (2, – ) эллипса и его эксцентриситет = ;

6) точка (8, 12) эллипса и расстояние = 20 от нее до левого фокуса;

7) точка (– , 2) эллипса и расстояние между его директрисами, равное 10.

Решение:

Учитывая принятые обозначения, а также основные соотношения между элементами эллипса, последовательно решаем все задания:

1). Так как точка принадлежит эллипсу, то: , откуда =36. Получаем уравнение эллипса .

2). Так как точка принадлежит эллипсу, то: , откуда = . Получаем уравнение эллипса .

3). Так как точка принадлежит эллипсу, то ; точка также принадлежит эллипсу ; решая полученную систему уравнений, получаем: =20, =15. Получаем уравнение эллипса .

4). Так как точка принадлежит эллипсу, то: , из 2 = 8 имеем 16 = – . решая полученную систему уравнений, получаем: a ² =20, b ² =4 и записываем уравнение эллипса .

5). Так как точка принадлежит эллипсу, то: . Учитывая , а также = – , получаем = . Решая полученную систему уравнений, имеем: =9, =5 и записываем уравнение эллипса .

6). Так как точка принадлежит эллипсу, то: . Из = =20 для точки получаем =20, или 8 =20 – . Учитывая = – , получаем систему уравнений:

откуда: =256, =192 → ответ: .

7). Так как точка принадлежит эллипсу, то: . Из 2 = = =10 запишем: = 5 . Учитывая = – , получаем систему уравнений:

откуда: =15, =6 → ответ: .

Ответ: для случаев: 1) , 2) , 3) , 4) .

5) , 6) , 7) .

Пример 4 – 507: Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса = 8. Определить полуоси эллипса, полученного в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к его оси под углом = 30⁰.

Решение:

Замечание: представление цилиндра видом сбоку наиболее удобно, так как в этом случае мы видим большую ось эллипса неискажённой; то, что малая ось эллипса представлена точкой не вызывает особых неудобств.

1). Сечение цилиндра плоскостью есть окружность. Очевидно, меньшая полуось эллипса равна = = 8.

2). Большая ось эллипса расположена в сечении : мы её видим неискажённой. Из прямоугольного треугольника вычисляем = .

Ответ: меньшая полуось: 8, большая: 16.

Пример 5 – 515: Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что:

1) ее оси равны 2 = 10, 2 = 8;

2) расстояние между фокусами 2 =10 и ось 2 = 8;

3) расстояние между фокусами 2 = 6 и эксцентриситет ;

4) ось 2 =16 и эксцентриситет = ;

5) уравнения асимптот: = а расстояние между фокусами 2 = 20;

6) расстояние между ее директрисами равно (в Задачнике ошибка!) и расстояние между фокусами 2 = 26;

7) расстояние между ее директрисами равно и ось 2 b = 6;

8) расстояние между ее директрисами равно и эксцентриситет = ;

9) уравнения асимптот = ± и расстояние между директрисами равно .

Решение:

Общее: воспользуемся рисунком и основными выражениями для гиперболы:

уравнение линии: , – вещественная полуось, – мнимая полуось гиперболы. Для вычисления фокусов гиперболы используется выражение: = – , где – фокус.

Эксцентриситет гиперболы: . Левая ветвь: = , = . Правая ветвь: = , = . В каждом случае: =2 . Директриса: . Асимптоты: = ± .

Учитывая принятые обозначения, а также указанные основные соотношения между элементами гиперболы, последовательно решаем все задания:

Решение:

1). Из условия: 2 =10, 2 =8 → =5, =4, и каноническое уравнение гиперболы: .

2). Из условия: 2 =8 и 2 =10 → =4; =5. Тогда = – =9 → гипербола: .

3). Из условия: 2 =6 и = = → =3 и =2. Тогда = – =5 → гипербола: .

4). Из условия: 2 =16 и = = → =8 и = · =10. Тогда = – =36 → записываем уравнение .

5). Из условия: 2 =20 и = → =10 и 3 =4 . Тогда = – =100 – . Из полученных уравнений (системы) получаем: =36 и =64 → гипербола .

6). Из условия: 2 =26 и 2 =2 =2 = → =13 и = 144. Далее = – =25 → гипербола: .

7). Из условия: 2 =6 и 2 =2 =2 = → =3 и = . Учитывая = – , получаем уравнение: 9 = – , откуда (положительный корень!) =5. Далее находим: = 16 и записываем уравнение гиперболы: .

8). Из условия: 2 =2 = и = = → откуда = 2 и = · =3. Тогда = – =5 и записываем уравнение: .

9). Из условия: = и 2 =2 =2 = → = и . Учитывая = – , получаем уравнение: = – или с = – откуда (положительный корень!) =10. Следует: =64 → =36 и записываем уравнение: .

Ответ: случаи: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

6) , 7) , 8) , 9) .

Пример 6 – 520: Вычислить площадь треугольника, образованного прямой : и асимптотами гиперболы .

Решение:

1). Вспомним общее выражение для асимптот гиперболы: = ± . Из условий и в соответствии с рисунком имеем уравнения асимптот : = , : = – .

2). Координаты выделенных точек: (2,3), (4,6), найдены как точки пересечения соответствующих прямых.

3). Вычисление площади треугольника : выполнено с использованием простейшей формулы: = [основание]·[высота].

Ответ: площадь треугольника: =12.

Пример 7 – 530: Через левый фокус гиперболы проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояние от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.

Решение:

1). Используя заданное уравнение гиперболы, учитывая выражение: = + =169, определяем фокус = 13. Используя выражение для эксцентриситета: = , вычисляем = .

2). Для левой ветви гиперболы выделена точка такая, что =– = – 13. Для этой точки, используя общие формулы, имеем: = . В нашем примере: = – ·(– 13) – 12 = .

Аналогично вычисляем расстояние точки до второго фокуса = =– ·(– 13) + 12 = .

Ответ: расстояние от фокусов = ; = .

Пример 8 – 566: Гипербола проходит через точку (,3) и касается прямой .Составить уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

Решение:

1). Так как точка принадлежит гиперболе, то: . Пусть , тогда .

2). При исследовании свойств линий 2-го порядка было получено выражением для углового коэффициента касательной к гиперболе в некоторой точке , именно: = . Из заданного уравнения касательной имеем: = . Видим, точка не принадлежит заданной касательной! Приравнивая коэффициенты , имеем: = . Учитывая: и , получим: = .

3). Так как точка принадлежит касательной, то дополнительно имеем: . Решая систему уравнений: получаем и .

4). Так как точка принадлежит гиперболе, то необходимо: . Умножим это равенство на число (6·9) и учтем и . Получаем: , или . Подставляя в него из п. 3), применив необходимые упрощения, получаем квадратное уравнение: . Его корни (по Виету!): = , = .

5). Для значения получаем: , → гипербола: , Для значения , аналогично, находим гиперболу: .

Ответ: уравнения гипербол: и .

Замечание: пример 8 иллюстрирует возможности получения необходимых геометрических свойств: в рассматриваемом примере требовалось расположить гиперболу в ограниченном пространстве.

Пример 9 – 583: Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале ординат, зная, что:

1) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси и ее параметр = 3;

2) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси и ее параметр = 0.5;

3) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси и ее параметр = ;

4) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси и ее параметр = 3.

Решение:

Общее: воспользуемся рисунком и основными выражениями для параболы:

уравнение линии: , фокус: , эксцентриситет: = =1, расстояние от произвольной точки до фокуса: , директриса: = .

Учитывая принятые обозначения, а также указанные основные соотношения между элементами гиперболы, последовательно решаем все задания:

1). Из условия: каноническое уравнение параболы: и =3 → тогда: .

2). Из условия: каноническое уравнение параболы: и =0.5 → тогда: .

3). Из условия: каноническое уравнение параболы: и = → тогда: .

4). Из условия: каноническое уравнение параболы: и =3 → тогда: .

Ответ: случаи: 1) , 2) , 3) , 4) .

Пример 10 – 588: Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

Можно было бы воспользоваться сведениями из элементарной алгебры и построить все графики заданных линий. Мы воспользуемся каноническими уравнениями линий 2-го порядка.

1). Отметим, прежде всего, область определения функции первого случая: . Область значений исходной функции: положительная полуось