Операції над подіями

Сумою або об’єднанням двох подій А і В називається така подія С (позначається С=А + В або С=АÈВ), яка складається із всіх елементарних подій, які належать принаймні одній з подій А або В.

Можна сказати інакше.

Подія С=А + В означає, що з’явилась або подія А або подія В, або обидві разом (див. заштриховані фігури на рис. 1.).

Так у прикладі 2

-подія достовірна.

Добутком або перетином двох подій А і В називається така третя подія С (позначається С=АВ або С=АÇВ), яка складається з елементарних подій, що належать і події А, і події В. Подія С=АВ відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається і А, і В. На рис. 1 а) – це заштрихована двічі частина А і В.

Наприклад,

- подія неможлива.

Різницею А\В=С називається така подія С, яка складається із елементів множини А, які не належать до В. Подія С=А\В означає, що подія А відбулася, а подія В не відбулася (схематично дивись рис. 2)

Рис. 2

Звернемось до подій прикладу 2.

;

Весь простір W елементарних подій є достовірною подією; пусту множену Æ називають неможливою подією.

Подія називається протилежною подією події А.

Подія означає, що подія А не відбулася.

Наочно зв’язок між подіями і спостерігається в прикладі 5 (див. рис. 3).

У прикладі 2 протилежними є події і - поява парного числа очок і непарного на грані кубика.

Події і несумісні, якщо Æ, тобто не можуть одночасно відбуватися.

Наприклад, події і (приклад 2) несумісні.

Рис.3

Подія є підмножиною події (записується ), якщо із появи події випливає поява події .

Так, якщо (приклад 5, див. рис. 3) подія означає, що “точка попала в круг”, то з цього випливає, що відбувається подія - “точка попала у квадрат”, в якому міститься цей круг.

Поняття добутку і суми подій переносяться на нескінченні послідовності подій. Подія

означає, що подія належить принаймні одній з подій .

Подія складається із елементарних подій, які належать всім подіям .

Можна перевірити, що операції над подіями мають такі властивості:

1) , .

2) , Æ.

3) , .

4) , .

5) .

6) .

Рекомендуємо самостійно переконатись у вірності властивостей операцій 1)-6) над подіями на таких моделях.

І. При одноразовому підкиданні грального кубика (див. приклад 2 попереднього параграфа) елементарними подіями є число очок, що випало на верхній грані кубика, а - простір елементарних подій. Для перевірки властивостей 1)-6) радимо розглянути відомі вже події - випало парне число очок, - число очок, що випало кратне 3, - непарне число очок.

Так, наприклад, , а протилежна подія . З другого боку відповідні протилежні події , і їх перетин збігається з .

ІІ. Випадковий вибір точки у прямокутнику – це елементарна подія (див. рис. 4).

Рис. 4

Вся множина точок прямокутника ототожнюється з простором елементарних подій . Тоді події і означають випадковий вибір точок у випадкових фігурах рисунка і ототожнюється з відповідними множинами точок. Властивості операцій 1)-6) для подій збігаються із властивостями операцій для множин.

Радимо переконатись у вірності властивостей 1)-6) для заданої моделі.

Отже, випадкові події ми можемо розглядати як множини, а це далі приводить до тісного зв’язку між теорією множин і теорією ймовірностей.

Тепер класичне означення ймовірностей перепишемо відповідно до теоретико-множинної термінології:

Будемо вважати, що простір елементарних подій є скінченною множиною із елементів , і що всі елементи цієї множини різні, тобто що елементарні події - попарно несумісні ( Æ, ). Припустимо, що елементарні події є рівноможливими.

Нехай випадкова подія є множиною певних елементарних подій

, тобто подія наступає тоді і тільки тоді, коли з’являється одна з подій . Ці елементарних подій називаються сприятливими для події .

Означення. Ймовірністю події називається відношення числа результатів випробування, сприятливих події , до числа всіх рівноможливих і попарно несумісних результатів випробування.

1.6.3. Аксіоми теорії ймовірностей

Із попередніх параграфів вже зрозуміло, що ймовірність розглядається як функція випадкової події . Важливим компонентом функції двох змінних є її область визначення. Аналогічно для функції теж потрібно якимось чином описати підмножини випадкових подій елементарного простору . Точніше, говорять про систему множин . Ця система повинна бути такою, щоб сума і добуток двох подій системи теж належали до неї.

Відмітимо, що якщо простір елементарних подій - скінченний, то скінченною буде і система множин . Для наочності пошлемось на відомій вже в попередніх параграфах приклад про одноразове підкидання грального кубика. Нехай дано простір елементарних подій , де - елементарна подія, що означає випадання очок на верхній грані кубика. Розглянемо всі можливі одноелементні множини подій - їх буде 6. Всіх двохелементних множин подій - їх число дорівнює . Число трьохелементних множин подій буде , чотирьохелементних - , п’ятиелементних - , шестиелементних - , всього множин подій буде . У теорії множин, коли розглядаються всі підмножини із множини елементів, то число таких підмножин дорівнює . Однією із підмножин вважається пуста множина. Отже, якщо до 63 перелічених підмножин подій включити ще неможливу подію Æ, то отримаємо підмножин подій заданого простору . Система випадкових подій складається із 64 описаних підмножин простору , причому, можна перевірити, що сума і добуток довільних підмножин із теж належить . Таким чином ймовірність повинна визначатись для всіх можливих множин випадкових подій із системи простору .

Для більш загальних просторів елементарних подій система випадкових подій задається аксіоматично.