Розміщення

Нехай дано три елементи . З них можна утворити такі сполуки:

1) по одному елементу:

;

2) по два:

;

3) по три:

.

Якщо, наприклад, розглянути сполуки по два елементи, то деякі з них відрізняються елементами , інші – порядком елеметів . Такі сполуки називаються розміщеннями із 3 – х елементів по 2.

Означення 1. Розміщеннями із n елементів по m називаються такі сполуки, які містять по m елементів, взятих із даних n елементів, і які відрізняються одна від одної або елементами, або порядком елементів.

Число розміщень позначається .

Із наведених вище прикладів ми бачимо, що , , .

Теорема. Число всіх можливих розміщень із елементів по дорівнює добутку послідовних натуральних чисел, з яких найбільшим є , тобто

. (1)

Дійсно, нехай нам дано елементів

.

Розглянемо розміщення по одному елементу. Зрозуміло, що їх буде , тобто

.

Тепер розглянемо, які можливі розміщення по 2 елементи. Щоб їх отримати, ми допишемо до кожного з даних елементів ще по одному, взятих із решти елементів. Так, до елемента допишемо послідовно решту елементів: ; до елемента послідовно решту елементів і т. д. Отримаємо всі розміщення із елементів по 2:

Записано рядків , а число всіх розміщень в кожному з цих рядків . Загальна кількість всіх розміщень дорівнює добутку на , тобто

.

Щоб отримати розміщення по 3 елементи в кожному, нам потрібно до кожної із записаних пар елементів долучити ще по одному елементу із елементів, що залишились.

Наприклад, до потрібно долучити один із елементів . Тоді всіх розміщень по 3 елементи буде:

і т. д. На -му кроці отримаємо формулу (1).

Приклад 1. Студенти групи вивчають 9 навчальних дисциплін по 3 пари щоденно. Скількома способами можна розподілити пари на день?

Розв’язання Усі можливі способи розподілу пар на день являють собою, очевидно, всі можливі розміщення із 9 елементів по 3, тому їх кількість дорівнює

.

У деяких задачах зустрічаються розміщення з повтореннями.

Означення 2. Розміщеннями із n елементів по m з повтореннями називаються такі сполуки, які містять по m елементів, взятих із даних n елементів, причому окремі елементи можуть появлятися раз.

Число розміщень з повтореннями позначаються через і обчислюються за формулою

. (2)

Приклад 2. Автомобільний номер складається із 5 цифр (із набору 0, 1, 2, 3,..., 9) і 2 букв. У сполуках із букв для номерів автомобілів, які зареєстровані у Дніпропетровській області, на першому місці ставиться буква А, на другому – одна з букв А, Б, В, І, К, Н. Скільки автомобільних номерів можна скласти в області?

Розв’язання. Числова частина номера є одним з розміщень із по з повтореннями. Їх кількість

,

із них необхідно виключити розміщення 000-00, бо такий номер не використовується, тобто всіх числових сполук буде

.

Кількість сполучень букв, а вони рахуються за другими буквами для області (перша буква – фіксована), буде шість. Загальне число всіх автомобільних номерів при згаданій системі дорівнює:

.