Функциональные ряды

Выражение вида , где - последовательность функций, определённых на одном и том же множестве , называется функциональным рядом, определённым на и обозначается . Функция называется -ой частичной суммой функционального ряда.

Точка , в которой сходится числовой ряд , называется точкой сходимости функционального ряда. Множество , состоящее из всех точек сходимости функционального ряда, называется его областью сходимости. Область сходимости функционального ряда обычно уже, чем область его определения .

Ряд называется абсолютно сходящимся на множестве , если при всех сходится ряд . Всякий ряд, абсолютно сходящийся на множестве , сходится на этом множестве. Область абсолютной сходимости ряда обычно уже его области сходимости .

Функцию , определённую в области сходимости функционального ряда такую, что при любом фиксированном , называют суммой ряда и пишут . При остаток ряда представляет собой также функцию , где при и при любом .

Для нахождения области сходимости ряда применяют известные признаки сходимости числовых рядов, считая фиксированным.

В частности, на основании признаков Даламбера и Коши (радикального) можно утверждать, что ряд сходится (и притом абсолютно), если и , соответственно, и расходится, если . В точках , в которых , сходимость ряда исследуют с помощью других признаков (например, признаков сравнения, интегрального признака Коши, признака Лейбница).

В задачах 8.125-8.139 найти области сходимости следующих функциональных рядов:

8.125. 8.126. 8.127.

8.128. 8.129. 8.130.

8.131. 8.132. 8.133.

8.134. 8.135. 8.136.

8.137. 8.138. 8.139.