Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний

При рассмотрении марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем будем считать, что все переходы некоторой системы из одного состояния в другое происходят под действием потоков событий. Если все потоки простейшие, то процесс протекающий в системе будет марковским. На графе состояний системы у каждой стрелки будем проставлять интенсивность потока событий , переводящего систему из состояния в состояние

Здесь - интенсивность потока отказов первого узла; ( - среднее время безотказной работы первого узла). Для размеченного графа показанного на рис. определим вероятности состояний системы ( - вероятность i-ого состояния системы, ).

Для этого составим систему уравнений Колмогорова для конкретной системы, Размеченный граф состояний Найдем вероятность , что в момент t система будет находиться в состоянии .
Придадим t приращение и найдем вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии . Это событие может осуществиться двумя способами:
1. В момент t система была в состоянии и за время из него не вышла;
2. В момент t система была в состоянии и за перешла в .

Вероятность первого варианта равна произведению на условную вероятность того, что за не произойдет перехода . Эта вероятность равна . В итоге имеем . Вероятность второго варианта равна ( - вероятность условного перехода ).

В итоге .
Деля обе части на и переходя к пределу при найдем

Аналогично можно найти еще три уравнения

Эти уравнения называются уравнениями Колмогорова.