Линеаризация условных уравнений

Теоретически задача фототриангуляции решается путем составления соответствующих условных уравнений. В эти уравнения подставляют известные величины; например, элементы внутреннего ориентирования х₀, у₀, f и координаты X_p, У_p и Z_p наземных опорных точек. Для того чтобы определить остальные параметры сети должно быть отнаблюдено на аэроснимках достаточное число точек и найдены: координаты Х_S, Y_s, Z_S всех точек фотографирования, угловые элементы ориентирования α, w, c всех снимков, координаты всех определяемых точек. Решение такой задачи по нелинейным формулам, практически затруднено, и, кроме того, обычно измеряется большее число точек на аэроснимках, чем требуется для решения. Поэтому условные уравнения следует привести к линейному виду, а при наличии избыточных измерений применить способ наименьших квадратов. Для линеаризации уравнений примёняются ряды Тейлора или Маклорена, в которых удерживаются только члены первого порядка.

Условные уравнения можно записать как функцию измеренных величин и параметров приравненную к нулю, т. е.

F (измерения, параметры) = 0. (5.20)

Если в условные уравнения подставлены измеренные величины и приближенные значения параметров, то эти уравнения не будут точно удовлетворяться. Они будут удовлетворены, если к этой функции прибавить ряд членов, включающих поправки к измеренным величинам и приближенным значениям параметров, т. е.

(F₀) + [A] (V) + [B] (D) = 0. (5.21)

где (F₀) — значение F, вычисленное по измеренным величинам и приближенным параметрам;

[A] — матрица векторов-строк, составленная из частных производных F,

по каждой из измеренных величин;

(V) — вектор-столбец поправок к измеренным величинам;

[B] — матрица векторов-строк, составленная из частных производных по каждому параметру;

(D) — вектор-столбец поправок к приближенным значениям параметров.

Частные производные для [A] и [B] вычисляются по приближенным значениям параметров, и они становятся коэффициентами линейных уравнений (5.21), в которых (F₀) является свободным членом.

Условные уравнения коллинеарности, компланарности и равенства масштабов вместе с общим уравнением преобразования пространственных координат содержат все параметры, которые определяют математическую модель фотограмметрической сети.